Deux fonctions définies à une constante près

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Soit

les fonction définies sur ${\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ par:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{4x+1}{x-2}$ et $\displaystyle \quad g(x)=\dfrac{9}{x-2}$

Calculer et pour tout $x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ .
Que remarque-t-on ?
Calculer . Justifier alors la remarque précédente.

Correction

$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\left\{\begin{array}{ll} u(x)=4x+1 \\ v(x)=x-2\end{array}\right.$ et donc, $\left\{\begin{array}{ll} u'(x)=4 \\ v'(x)=1\end{array}\right.$
On a alors, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ , soit pour tout $x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ , $f'(x)=\dfrac{4(x-2)-(4x+1)1}{(x-2)^2} =\dfrac{-9}{(x-2)^2}$ .
$g=9\times \dfrac{1}{v}$ avec , donc , et alors, pour tout $x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ , $g'(x)=9\times \dfrac{-1}{(x-2)^2}$ .
On remarque que pour tout $x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ , .
Pour tout $x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ , $f(x)-g(x)=\dfrac{4x+1}{x-2}-\dfrac{9}{x-2} =\dfrac{4x-8}{x-2} =\dfrac{4(x-2)}{x-2}=4$ .
Ainsi, $\left(f(x)-g(x)\right)'=\left(4\right)'=0$ .
Or, $\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)$ , et on en retrouve alors que .

Tag:Fonctions et dérivées

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