Variations et minimum de l'aire d'un triangle
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Énoncé
On considère la fonction
définie sur
par l'expression
.
On note
la courbe représentative de
.

![$]1;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exmintri/2.png)

On note


- Dresser le tableau de variation de
.
- Déterminer l'équation de la tangente
à
au point d'abscisse 3.
- Dans le plan rapporté à un repère orthonormal
, on note
le point de coordonnées
, et, pour tout réel
,
le point de coordonnées
.
On définit de plus le point, intersection de
et de l'axe des ordonnées.
- Calculer les coordonnées de
.
- Montrer que l'aire du triangle
est égale à
.
- Pour quelle position du point
l'aire du triangle
est-elle minimale ?
- Calculer les coordonnées de
Correction
Correction
-
avec
donc
, et
donc
.
Ainsi, soit
.
-
, avec
et
,
donc.
-
- Soit, comme
appartient à l'axe des ordonnées,
. Comme
, les vecteurs
et
sont colinéaires, donc leur déterminant est nul.
Avec les coordonnéeset
, on a donc
Ainsi,.
- L'aire de
est
.
- D'après la question 1., l'aire minimale est 2 lorsque
.
- Soit, comme
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