Démonstration: dérivée de puissances

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

ROC

Si $ u$ et $ v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $ I$ , alors la fonction $ uv$ est dérivable sur $ I$ et $ (uv)'=u'v+uv'$ .

  1. Démonstration

    Démontrer que si $ u$ est une fonction dérivable sur $ I$ , alors:

    a) $ u^2$ est dérivable sur $ I$ et $ \left(u^2\right)'=2uu'$ .
    b) $ u^3$ est dérivable sur $ I$ et $ \left(u^3\right)'=3u^2u'$ .

  2. Application

    Justifier que les fonctions suivantes sont dérivables sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ et calculer l'expression de leurs dérivées.

    a) $ f(x)=(3x-1)^2$
    b) $ g(x)=\left(\dfrac{x}{2}+3\right)^3$ .

Correction
  1. Démonstration

    a) D'après la propriété rappelée, $ u^2=u\times u$ est dérivable sur $ I$ avec $ \left(u^2\right)'=\left(u\times \right)'=u'u+uu'=2uu'$ .
    b) de même, $ u^3=u^2u$ est dérivable sur $ I$ avec

    $\displaystyle \left(u^3\right)'=\left(u^2\times u\right)'=\left(u^2\right)'u+u'u^2 =\left(2uu'\right)u +u'u^2 =2u^2u'+u'u^2 =3u'u^2 $

  2. Application

    a) $ f(x)=(3x-1)^2=\left(u(x)\right)^2$ avec $ u(x)=3x-1$ qui est une fonction affine dérivable sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ .

    D'après la propriété du a), $ f$ est donc dérivable sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ , avec $ f'=2uu'$ , soit $ f'(x)=2(3x-1)3=6(3x-1)$ .

    b) $ g(x)=\left(v(x)\right)^3$ avec $ v(x)=\dfrac{x}{2}+3$ qui est une fonction affine donc dérivable sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ .

    D'après la propriété du a), $ g$ est donc aussi dérivable sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ avec, $ g'(x)=3v'v^2 =\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{x}{2}+3\right)^2 $



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Tag:Fonctions et dérivées

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