Arithmétique

Divisiblité, division euclidienne et congruences




Échauffements - Exercices de rappel

Exercice 1
Les nombres suivants sont-ils divisibles par 3 ? par 9 ? par 6 ? par 18 ?
27 - 129 - 567 - 837 - 22134 - 1556 - 50166

Correction
  • 27 = 3 × 9 est bien divisible par 3
  • 129 = 3 × 43 est bien aussi divisible par 3
  • 567 = 3 × 189 est bien aussi divisible par 3
  • 837 = 3 × 279 est bien aussi divisible par 3
  • 22134 = 3 × 7378 est bien aussi divisible par 3
  • 1554 = 3 × 518 et 1557 = 3 × 519 et donc 1556 n'est pas divisible par 3
  • 50166 = 3 × 16722 est bien aussi divisible par 3
Il est bien plus simple de se remémorer de la règle:
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3

On démontrera (enfin ?!) ce résultat plus tard dans ce cours.

On démontrera alors de même que
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9

ce qui montre que, dans la liste, les nombres divisibles par 9 sont 27 - 567 - 837 - 50166 et non pas les autres: 129 - 22134 - 1556

Un nombre est divisible par 6 = 3 × 2 s'il est divisible par 3 et 2; il faut donc chercher dans la liste précédente des nombres divisibles par 3, ceux qui sont aussi pairs, à savoir: 22134 et 50166.

De même un nombre est divisible par 18 = 9 × 2 s'il est divisible par 9 et 2; il faut donc chercher dans la liste précédente des nombres divisibles par 9, ceux qui sont aussi pairs. Il n'y en a qu'un: 50166.

Exercice 2 - Sur la parité
  1. Quelle est la parité du carré d'un nombre pair ? du carré d'un nombre impair ?
  2. Quelle est la parité du produit de deux nombres pairs ? de deux nombres impairs ?
  3. Quelle est la parité de la somme de deux nombres pairs ? de deux nombres impairs ?
  4. Énoncer une règle sur la parité du produit de deux entiers et une règle sur la parité de la somme de deux entiers.

  1. Pour un nombre pair, n=2k, son carré n2=(2k)2=4k2=2(2k2) est aussi pair.
    De même, pour un nombre impair, n = 2k+1, son carré n2 = (2k+1)2 = 4k2+4k+1 = 2(2k2+2k)+1 est aussi impair.
  2. Si n=2k et n'=2k' sont deux nombres pairs, alors le produit
    nn'=(2k)(2k')=2(2kk')
    est aussi pair.
    De même, pour n=2k+1 et n'=2k'+1 deux nombres impairs, le produit
    nn' =(2k+1)(2k'+1) =2(2kk'+k+k') + 1
    est aussi impair.
  3. Si n=2k et n'=2k' sont deux nombres pairs, alors la somme
    n+n'=(2k) + (2k')=2(k+k')
    est aussi paire.
    Par contre, pour n=2k+1 et n'=2k'+1 deux nombres impairs, la somme
    n+n' =(2k+1) + (2k'+1) =2(k + k' + 1)
    est paire.
  4. Le produit conserve la parité, tandis que l'addition de deux nombres de même parité est toujours paire.

Exercice 3 - Sur les puissances
  1. Écrire sous la forme de produits et puissances, plus simples:
    (52)6 ; (2×32)3 ; (22n+1)3
  2. Factoriser:
    2n+3−2n ; 32n+1 − 3n+1 ; 4n+1 − 2n+2

  1. (52)6 = 512 ; (2×32)3 = 23×36 ; (22n+1)3 = 26n+3
    • 2n+3−2n = 2n(23 −1) ;
    • 32n+1 − 3n+1 = 3n+1(3n − 1) ;
    • 4n+1 − 2n+2 = (22)n+1 − 2n+2 = 22n+2 − 2n+2 = 2n+2(2n − 1)


Introduction - A propos de N

L'arithmétique est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux nombres entiers (naturels et relatifs), à leurs relations et propriétés en lien avec les opérations élémentaires: addition, soustraction, multiplication et division.
Tous les problèmes concernent donc ici l'ensemble des entiers naturels N ou celui des entiers relatif .
Axiomes de N
  • Principe du bon ordre: toute partie de N admet un plus petit élément
  • Principe de descente infinie: toute suite dans $\N$ strictement décroissante est finie.
  • Principe des tiroirs: si l’on range n + 1 chaussettes dans n tiroirs, alors un tiroir contiendra au moins deux chaussettes.

Remarques:
  • Le principe de bon ordre permet de donner une démonstration du principe de récurrence (qui devient alors un théorème de récurrence), voir la démonstration là
  • Le reste de la division par 7 d'un entier non multiple de 7 ne peut prendre que 6 valeurs: 1, 2, ...,6.
    Ainsi, à partir de la 7ème division, on retrouve forcément un reste déjà obtenu (7 resultats dans 6 tiroirs).
    Par exemple, on a 10/7 = 1, 42857 42857 42… est le développement est périodique.

Exercice 4
Je dispose de 100 chaussettes, 50 noires et 50 rouges, toutes mélangées en vrac.
Avoir une chaussette rouge à un pied et une noire à l’autre est particulièrement moche.
Combien dois-je en tirer, au minimum, pour être sûr d’avoir une paire de chaussettes de la même couleur ?

3…


Divisibilité dans

Propriété: Rappels de règles de divisibilité
  • Un entier est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités l'est, c'est-à-dire s'il se termnie par 0, 2, 4, 6 ou 8.
  • Un entier divisible par 2 est dit pair. S'il ne l'est pas, il est impair.
  • Un entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est
  • Un entier est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres l'est
  • Un entier est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités l'est, c'est-à-dire s'il se termnie par 0 ou 5
  • Un entier est divisible par 10 si et seulement si il est divisible à la fois par 2 et par 5, donc s'il se termine par 0.
  • Un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est

Exercice 5
  1. Donner les éventuels diviseurs parmi 2, 3, 4, 5, 9 et 10 des nombres suivants:
    20 ; 54 ; 126 ; 1932 ; 2020 ; 2040 ; 10 ; 10004
  2. Donner tous les diviseurs de:
    20 ; 36 ; 54; 147

  1. 20 est divisible par 2, 4, 5 et 10.
    54 est divisible par 2, 3, 9.
    126 est divisible par 2, 3, 9.
    1932 est divisible par 2, 3, 4.
    2020 est divisible par 2, 4, 5, 10.
    2040 est divisible par 2, 3, 4, 5, 10.
    10004 est divisible par 2 seulement.
  2. L'ensemble des diviseurs de 20 = 22×5 est
    {1; 2; 4; 5; 10; 20}

    L'ensemble des diviseurs de 36 = 22×32 est
    {1; 2; 3; 4, 6, 9; 12; 18; 36}

    L'ensemble des diviseurs de 54 = 2×33 est
    {1; 2; 3; 9; 18; 27; 54}

    L'ensemble des diviseurs de 147 = 3×49 est
    {1; 3; 49; 147}

Exercice 6
  1. Déterminer tous les couples d’entiers naturels (x ; y) tels que x2 − 2xy = 15
  2. Déterminer tous les couples d’entiers naturels (x ; y) tels que 4x = 20 + 2xy

  1. Ce qui nous intéresse particulièrement sont les multiples / diviseurs. On pense donc forcément à factoriser:
    x2 − 2xy = x(x−2y) = 15
    ce qui montre que x et x−2y sont des diviseurs de 15, soit 1, 3, 5 ou 15.
    Comme on cherche des entiers naturels, donc positifs, on a nécessairement que x est plus grand que x−2y et a donc deux possibilités: x = 15 x − 2y = 1 ou x = 5 x − 2y = 3
    Le premier système donne x=15 et y=7 et le deuxième donne le couple solution x=5 et y=1
  2. On procède de même qu'à la question précédente, en factorisant
    4x = 20 + 2xy ⇔ 4x − 2xy = 2x(2−y)= 20 ⇔ x(2−y)= 10
    ce qui montre que x et 2−y sont des diviseurs de 10, soit 1, 2, 5 ou 10.
    Comme y est un etier naturel, donc positif, on a que 2−y est inférieur à 2, donc ne peut valoir que 1 ou 2, et on a donc les deux seules possibilités
    • 2−y=1 ⇔ y=1 et alors x=10
    • 2−y=2 ⇔ y=0 et alors x=5


Définition
Soit a et b deux entiers relatifs.
On dit que a divise b lorsque il existe un entier relatif k tel que b = ka.
On note a | b.
On dit aussi que a est un diviseur de b, ou encore que b est un multiple de a.

Exemples:
  • 3 | 15 car 15 = 5×3 donc 3 divise 15, et 15 est un multiple de 3.
  • 3 | −24 car −24 = 3×(−8) donc −8 et 3 sont des diviseurs de −24.
  • Tous les diviseurs de 24 dans N sont 1; 2; 3; 4; 8; 12; 24
Propriété: Divisibilité et combinaison linéraire
Si a | b et a | c alors, pour tous entiers relatifs α et β,
a | (α b + β c)

Exemples:
  • 7 | 14 et 7 | 700 donc 7 | 728 car 728 = 2×14 + 1×700
  • Trouver une condition sur les diviseurs communs positifs à b = 3k+1 et c = 5k−2, pour un entier k quelconque.
    Si a est un tel diviseur, alors a divise toute combinaison linéaire de b et c, en particulier, a divise
    5b − 3c = 5(3k+1)−3(5k−2) = 11
    Or 11 est premier: ses seuls diviseurs sont 1 lui-même.
    Ainsi, un diviseur commun à b = 3k+1 et c = 5k−2 ne peut être que 1 ou 11.


Exercice 7
Déterminer, de deux manières différentes, les entiers naturels n tels que (n−3) divise (n+5).
  1. en revenant à la définition de la divisibilité
  2. en remarquant que (n−3) divise (n−3) et en faisant intervenir une combinaison linéaire judicieuse de (n−3) et (n+5).

  1. (n−3) divise (n+5) signifie qu'il existe un entier k tel que (n+5) = k(n−3)
    On cherche à faire à factoriser, pour faire apparaître justement des produits et multiples, et on écrit pour cela que n+5 = n−3 +8
    On obtient alors
    (n+5) = k(n−3) (n-3) +8 = k(n−3) 8 = k(n−3) − (n-3) 8 = (k−1)(n−3)
    ce qui montre donc que (n−3) divise 8.
    Or, les diviseurs de 8 sont 1; 2; 4; 8 et on a donc nécessairement que n−3=1 ⇔ n=4 ou n−3=2 ⇔ n=5 ou n−3=4 ⇔ n=7 ou enfin n−3=8 ⇔ n=11
    Réciproquement, on vérifie bien que si n vaut 4, 5, 7 ou 11 alors n−3 divise bien n+5.
  2. Comme n−3 divise n−3 et n+3, On sait que n−3 divise toute combinaison linéaire de n−3 et n−3 divise (d'après la propriété divisibilité et combinaison linéaire ci-dessus), c'est-à-dire que pour tous entiers α et β, on a que n−3 divise
    α (n−3) + β (n+5)
    On peut en particulier choisir les entiers qui nous intéressent, par exemple un choix qui fait disparaître l'nconnue n, par exemple, α=−1 et β=1.
    On a alors dans ce cas
    α (n−3) + β (n+5) = −(n−3) + (n+5) = 8
    et on retrouve donc ainsi, comme à la réponse précédente que n−3 divise 8.

Exercice 8
  1. Pour quelles valeurs de l'entier naturel n a-t-on (n+8) divisible par n ?
  2. Pour quelles valeurs de l'entier relatif n la fraction 6n+12/2n+1 est-elle un entier relatif ?

  1. On peut soit traduire la divisibilité, soit utiliser une combinaison linéaire: comme n divise n et n+8, on sait alors que n divise
    (n+8) − n = 8
    donc que n{1; 2; 4; 8}
    Réciproquement, on vérifie que pour ces valeurs de n divise bien n+8.
  2. Cette fraction est un entier lorsque le numérateur est un multiple du dénominateur, donc que 3n+1 divise 6n+12.
    Comme à la question précédente, si 2n+1 divise 2n+1 et 6n+12 alors 2n+1 divise la combinaison linéaire
    6n+12 − 3×(2n+1) = 9
    et ainsi, 2n+1∈ {−9; −3; −1; 1; 3; 9} ou encore n{−5; −2; −1; 0; 1; 4}
    Réciproquement, on vérifie que ces six de valeurs de n donne bien une fraction réductible à un entier

Exercice 9
  1. Montrer que si un entier naturel d divise 12n+7 et 3n+1 alors il divise 3.
  2. En déduire que la fraction 12n+7/3n+1 est irréductible.

  1. Comme d divise 12n+7 et 3n+1, on sait alors que n divise
    (12n+7) − 4×(3n+1) = 3
    donc d divise 3, c'est-à-dire que d{1; 3}
  2. Cette fraction est réductible si il existe un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.
    D'après la question précédente, ce diviseur divise aussi 3.
    Or, 12n+7 ≡ 7 [3] ≡ 1 [3] n'est pas divisible par 3.
    Il n'existe donc pas de diviseur commun, et la fraction est irréductible.


Division euclidienne

Division euclidienne
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe alors un unique couple d'entiers relatifs (q ; r) tels que
a = bq + r avec 0≤ r < b

Exemples: Écrire les divisions euclidiennes de 112 par 5 puis de 86 par 7.
  • 112 = 5 × 22 + 2, le quotient est 22 et le reste 2
  • 86 = 7 × 12 + 2, le quotient est 12 et le reste 2


Exercice 10
Trouver les entiers naturels n qui ont, dans la division euclidienne par 4, un quotient égal au reste.

On écrit la division euclidienne, avec le reste égal au quotient, et le reste 0≤r=q<4
n = 4q + q = 5q
On trouve donc 4 valeurs possibles, pour q=0, ..., 3, à savoir
  • n = 0 (= 4×0+0),
  • n = 5 (= 4×1+1),
  • n = 10 (= 4×2+2),
  • et n = 15 (= 4×3+3).

Exercice 11
Trouver un entier naturel qui, dans la division euclidienne par 23 a pour reste 1, et dans la division euclidienne par 17 a le même quotient et pour reste 13.

On note n l'entier naturel recherché, et on a donc
n = 23q + 1 = 17q + 13
On doit donc avoir
6q = 12 ⇔ q=2
d'où
n = 23×2 + 1 = 17×2 + 13 = 47

Exercice 12
La différence de deux entiers naturels est 885. Si on divise l'un par l'autre, le quotient est 29 et le reste 17.
Quels sont ces deux entiers ?

On note n et m ces deux entiers, qui vérifient donc nm = 885 et
n = 29m + 17
On a donc
n = m + 885 = 29m + 17
et donc
868 = 28m m = 31
et alors nm = 885 ⇔ n = 916

Exercice 13
Un entier naturel n est tel que si on le divise par 5 le reste vaut 3 et si on le divise par 6 le reste augmente de 1 et le quotient diminue de 1. Déterminer n.

On a donc d'une part
n = 5q + 3
et d'autre part
n = 6(q−1) + 4
d'où la relation
5q + 3 = 6(q−1) + 4
de laquelle on tire q = 5 et donc
n = 5×5 + 3 = 6×4 + 4 = 28

Exercice 14
Soit n et p deux entiers naturels. On sait que le reste dans la division euclidienne de n par 11 vaut 8 et que le reste dans la division euclidienne de p par 11 vaut 7. Quel est le reste de n+p dans la division euclidienne par 11 ?

On détaille les divisions euclidiennes:
n = 11q + 8
et
p = 11q' + 7
et alors, en ajoutant terme à terme ces deux équations
n+p = 11(q+q') + 15
ce qui montre que le reste recherché vaut 15.

Congruences

Définition:
Soit a et b deux entiers relatifs et n≥2 un entier naturel.
On dit que a et b sont congrus modulo n lorsque a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
On note
ab [n]   ou   ab mod n

Exemples:
  • 47 = 9×5 +2 et 32 = 6×5 + 2 d'où 47≡32 [5]
    En fait, 47≡2 [5] et 32≡2 [5]
  • 40≡0 [2] car 40=20×2 + 0.
    "Congru à 0 modulo n " signifie "divisible par n"
    "Congru à 0 modulo 2" signifie "pair"
  • −3≡4 [7] car −3= -1×7+4

Corollaires:
  • Tout nombre est congru à son reste dans la division euclidienne: si a = bq + r alors ar [q]
  • n est un diviseur de a si et seulement si a≡0 [n] (a=qn+0)
  • Un nombre a est pair si et seulement si a≡0 [2]
    a est impair si et seulement si a≡1 [2]
  • ab [n] ⇔ ab≡ 0 [n]

Exercice 15
Donner le reste de la division euclidienne de 42 par 15.
En déduire que que 46n−1 est divisible par 15.

On a 42=16≡1 [15].
On a alors,
46n = (42)3n≡13n [15]
d'où
46n≡1 [15]
et donc
46n − 1 ≡0 [15]
ce qui signifie exactement que 46n−1 est divisible par 15.

Exercice 16
Déterminer le reste de la division euclidienne de 3960 par 7.

On a 39≡4 [7],
donc 392≡42 [7] ≡ 2 [7],
donc 393=392×39≡2×4 [7] ≡ 1 [7].

On cherche donc à diviser par 3 la puissance de 39:
3960=(393)20 ≡ 120 [7] ≡ 1 [7]
Ainsi, le reste recherché, de la division euclidienne de 3960 par 7, est 1.

Exercice 17
Déterminer le chiffre des unités dans l'écriture décimale de 32023.

Le chiffre des unités est le reste modulo 10.
Ici, 32=9≡−1[10], et on cherche donc la parité de la puissance:
32023 = 32×1011+1 = (32)1011×3 ≡ (−1)1011×3 [10] ≡−3 [10] ≡7 [10]

Exercice 18
  1. Déterminer, suivant les valeurs de n, les restes possibles de 2n dans la division par 9. Résumer les résultats dans un tableau de congruence.
  2. En déduire les entiers n tels que 2n−1 est divisible par 9.

  1. On remplit successivement le tableau de congruence:
    n=…0123456
    2n≡ … [9]1248751
    et on trouve une période de 6.
  2. On a
    2n − 1 ≡ 0 [9] ⇔ 2n ≡ 1 [9]
    et grâce au tableau précédent, on a donc
    2n − 1 ≡ 0 [9] ⇔ n≡0 [6]
    donc lorsque n est un multiple de 6.

Exercice 19
  1. Déterminer, suivant les valeurs de n, les restes possibles de 3n dans la division par 7. Résumer les résultats dans un tableau de congruence.
  2. En déduire les entiers n tels que 3n−6 est divisible par 7.
  3. En déduire que 1642021≡5 [7].

  1. On remplit successivement le tableau de congruence:
    n=…0123456
    3n≡ … [7]1326451
    et on trouve une période de 6.
  2. On a
    3n − 6 ≡ 0 [7] ⇔ 3n ≡ 6 [7]
    et grâce au tableau précédent, on a donc
    3n − 6 ≡ 0 [7] ⇔ n≡3 [6]
  3. On a 164=7×23+3 donc 164≡3 [7] et alors
    1642021≡32021 [7]
    On divise (euclidienne) alors la puissance 2021 par 6, soit
    2021=6×336+5 ⇒ 2021≡5 [6]
    et alors
    1642012≡32012 [7] ≡ 35 [7] ≡ 5 [7]

Exercice 20
Le 1er janvier 2012 était un dimanche.
  1. Calculer le nombre de jours séparant ce 1er janvier 2012 du 1er janvier 2019.
    En déduire quel était le jour de la semaine du 1er janvier 2019.
  2. Quel est le jour de la semaine du 1er janvier 2030 ?

  1. Entre ces deux dates, il y a 7 ans, soit 7×365 jours, auquels il faut ajouter les jours de plus des années bissextiles.
    Ce sont les années divisibles par 4. 2012 est une telle année et 2016 aussi.
    Il y a donc en tout 7×365 + 2 jours entre les 1er janvier 2012 et 2019, et donc
    7×365 + 2 ≡ 0×365 +2 [7] ≡2 [7]
    Ainsi, il y a deux jours de la semaine de plus, et le 1er janvier 2019 était donc un mardi.
  2. De même, il y a 11 ans entre les 1er janvier 2019 et 2030, dont 3 années bissextiles, soit n=11×365 + 3 jours.
    Comme, avec 52 semaines par an,
    365 = 7×52 + 1 ≡ 1 [7]
    on obtient que
    n≡4×1 + 3 [7] ≡ 0 [7]
    et le 1er janvier 2030 donc le même jour de la semaine que le 1er janvier 2019, donc un mardi.

Exercice 21
On appelle inverse de x modulo 5, un entier y tel que xy≡1 [5].
  1. Déterminer un inverse modulo 5 de x=2.
  2. Déterminer un inverse modulo 5 de x=3 et x=4.
  3. Est-ce que x=5 admet un inverse ?
  4. &Acute; l'aide d'un tableau de congruence, déterminer suivant la valeur de x son inverse modulo 5.
  5. Résoudre les équations
    • E1: 2x≡ 3 [5]
    • E2: 9x≡ 1 [5]

  1. On a 2×3=6≡1 [5], d'où y=3 est un inverse modulo 5 de x=2.
  2. De même y=2 est un inverse modulo 5 de x=3.
    On a aussi 4×4=16≡1 [5], d'où y=4 est un inverse modulo 5 de x=4.
  3. x=5 n'a pas d'inverse car x=5≡0 [5] et donc, pour tout nombre y on a xy≡0 [5] et on ne peut donc pas avoir xy≡1 [5].
  4. On peut donc remplir le tableau de congruence:
    x≡… [5]01234
    Inverse modulo 5 de x×1324
    • On multiplie des deux côtés par l'inverse modulo 5: E1: 2x≡ 3 [5] ⇒ 3×2x≡ 3×3 [5] ≡4 [5] or 3×2xx [5]
      et on trouve finalement que les solutions sont x≡4 [5]
    • Tout d'abord 9x≡4x [5] . Puis, on procède comme pour l'équation précédente. On multiplie des deux côtés par l'inverse modulo 5: E2: 4x≡ 1 [5] ⇒ 4×4x≡ 4×1 [5] ≡4 [5] or 4×4xx [5]
      et on trouve finalement que les solutions sont x≡4 [5] et les solutions sont donc les mêmes que pour l'équation précédente.

Exercice 22
On décide de former des nombres dans le système décimal en écrivant de gauche à droite quatre chiffres consécutifs dans l'ordre croissant puis on permute les deux premiers chiffres de gauche.
Par exemple, à partir de 4567 on obtient 5467, ou encore à partir de 2345 on obtient 3245.
Démontrer que tous les entiers naturels ainsi obtenus sont multiples de 11.

On détaille l'écriture décimale des nombres, avant la permutation, qui s'écrivent donc
a = n×103+(n+1)×102+(n+2)×10+(n+3)
Après permutation, on obtient le nombre
a' = (n+1)×103+n×102+(n+2)×10+(n+3)
et donc, comme 10≡−1 [11], on trouve que
a' (n+1)×(−1)3 + n×(−1)2 + (n+2)×(−1) + (n+3) [11] (n+1)×(−1) + n×(1) + (n+2)×(−1) + (n+3) [11] 0 [11]
ce qui montre que ce nopmbre obtenu est bien multiple de 11.

Exercice 23
On considère un entier de 3 chiffres. On appelle renversé de cet entier le nombre qui s'écrit en échangeant les chiffres des centaines et des unités.
Par exemple, le renversé de 238 est 832.
Montrer que la différence entre un entier et son renversé est divisible par 9.

Soit n un entier à 3 chiffres, qu'on écrit sous forme décimale
n = a×100 + b×10 + c
Son renversé est
n' = c×100 + b×10 + a
et leur différence
nn' = (ac)×100 + ca
et donc, comme 100≡1[9], on obtient que
nn' ≡ (ac)×1 + ca [9] ≡0 [9]
ce qui signifie exactement que cette différence est divisible par 9.

Exercice 24
On considère la suite (un) d'entiers définie par u0=14 et, pour tout entier naturel n,
un+1 = 5 un − 6
  1. Calculer u1, u2, u3 et u4.
    Quelle conjecture peut-on faire concernant les deux derniers chiffres de un ?
  2. Montrer que, pour tout entier n, on a un+2un [4].
    En déduire que, pour tout entier n, on a u2n≡ 2 [4] et u2n+1≡0 [4].
    1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a 2un = 5n+2+3.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel n, 2un≡ 28 [100].
    3. Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de un suivant les valeurs de n.

  1. u0 = 14, u1 = 64, u2 = 314, u3 = 1564, et u4 = 7314.
    On peut donc conjecturer que les deux derniers chiffres alternent entre 14 et 64.
  2. On a
    un+2 = 5 un+1 − 6
    donc
    un+2 = 5 (5 un − 6) − 6 = 25un − 36
    et comme 25≡1 [4] et 36≡0 [4], on obtient donc que
    un+2un [4]
    On en déduit que, en considérant les termes de rang pair,
    u2nu2(n−1)≡ … ≡ u0≡2 [4]
    et les termes de rang impair,
    u2n+1u2n−1≡ … ≡ u1≡0 [4]
    1. Initialisation: d'une part, 2u0 = 28 et d'autre part 50+2+3=28, ce qui montre que la propriété est vraie initialement au rang n=0.
      Hérédité: Supposons que pour un certain entier n on ait 2un = 5n+2+3
      Alors, par définition de la suite,
      2un+1 = 2(5un−6) = 5(2un)−12
      et, en utilisant l'hypothèse de récurrence,
      2un+1 = 5(5n+2+3) − 12
      soit
      2un+1 = 5n+3 + 3
      ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang n+1 suivant.
      Conclusion: on vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier natiurel n, on a
      2un = 5n+2+3
    2. On a, 53=125≡25 [100] puis 54=5×53≡5×25 [100]≡25 [100] et, de proche en proche (ou par une récurrence immédiate), pour tout entier n, on a
      5i+2≡25 [100]
      et donc,
      2un = 5n+2+3 ≡ 25 +3 [100] ≡ 28 [100]
    3. On a ainsi trouvé que un≡14 [50] c'est-à-dire que les deux chiffres de un sont 14 ou 14+50=64, et démontre ainsi notre conjecture.




Voir aussi:
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