Suites imbriquées et diagonalisation

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

On considère les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par les relations de récurrence, pour tout entier naturel $n$,
\[\la\begin{array}{ll}x_{n+1}&=y_n\\y_{n+1}&=-\dfrac12x_n+\dfrac32y_n\enar\right.\]

sachant que $x_0=20$ et $y_0=0$.
On note de plus les matrice $A=\lp\begin{array}{cc}0&1\\-\dfrac12&\dfrac32\enar\rp$ et $U_n=\lp\begin{array}{c}x_n\\y_n\enar\rp$, pour tout entier naturel $n$.
  1. Calculer $x_1$ et $y_1$ puis $x_2$ et $y_2$.
  2. Exprimer matriciellement la relation de récurrence définissant les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ à l'aide de la matrice $A$.
  3. Soit $P=\lp\begin{array}{cc}2&1\\1&1\enar\rp$.
    Calculer la matrice $D=PAP^{-1}$.
  4. Donner $D^2$ et $D^3$ puis la matrice $D^n$ (sans justification supplémentaire).
    En déduire l'expression de $A^n$ en fonction de $n$ et des matrices $P$ et $D$, puis calculer la matrice $A^n$ explicitement en fonction de $n$.
  5. Donner alors l'expression de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$.
    Quelle sont les limites de ces deux suites ?



Correction

Correction

  1. On a $x_1=y_0=0$ et $y_1=-\dfrac12x_0+\dfrac32y_0=-10$
    puis $x_2=y_1=-10$ et $y_2=-\dfrac12x_1+\dfrac32y_1=-15$
  2. Les relations de récurrence s'expriment matriciellement par $U_{n+1}=AU_n$.
  3. On calcule tout d'abord la matrice inverse, car qui existe bien car $\det(P)=1\not=0$, et donc
    \[P^{-1}=\dfrac1{\det(P)}\lp\begin{array}{cc}1&-1\\-1&2\enar\rp=\lp\begin{array}{cc}1&-1\\-1&2\enar\rp\]

    et on calcule alors les deux produits matriciels successifs:
    \[D=PAP^{-1} =\lp\begin{array}{cc}\dfrac12&0\\0&1\enar\rp\]


  4. On calcule
    \[D^2=\lp\begin{array}{cc}\dfrac12&0\\0&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}\dfrac12&0\\0&1\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}\lp\dfrac12\rp^2&0\\0&1^2\enar\rp\]

    puis
    \[\begin{array}{ll}D^3&=D^2D\\ &=\lp\begin{array}{cc}\lp\dfrac12\rp^2&0\\0&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}\dfrac12&0\\0&1\enar\rp\\[2em] &=\lp\begin{array}{cc}\lp\dfrac12\rp^3&0\\0&1^3\enar\rp\enar\]

    qu'on généralise à
    \[D^n=\lp\begin{array}{cc}\lp\dfrac12\rp^n&0\\0&1\enar\rp\]


    On en déduit que
    \[\begin{array}{ll}A^n&=\underbrace{A\,A\,A\,\dots\,A}_{n \text{termes}}\\[1.6em] &=PA\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}D\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}DP{-1}\dots\,\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}DP^{-1}\\[1.6em] &=PD^nP^{-1} \enar\]


    On calcule enfin explicitement cette matrice:
    \[\begin{array}{ll}A^n&=PD^nP^{-1}\\ &=\lp\begin{array}{cc}2&1\\1&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}\lp\dfrac12\rp^n&0\\0&1\enar\rp P^{-1}\\ &=\lp\begin{array}{cc}2\lp\dfrac12\rp^n&1\\\lp\dfrac12\rp^n&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&-1\\-1&2\enar\rp\\[3em] &=\lp\begin{array}{cc}2\lp\dfrac12\rp^n-1&-2\lp\dfrac12\rp^n+2\\\lp\dfrac12\rp^n-1&-\lp\dfrac12\rp^n+2\enar\rp \enar\]


  5. On a $U_{n+1}=AU_n$, pour tout entier $n$, et donc $U_n=A^nU_0$, soit
    \[\lp\begin{array}{c}x_n\\y_n\enar\rp=A^n\lp\begin{array}{c}x_0\\y_0\enar\rp =A^n\lp\begin{array}{c}20\\0\enar\rp\]

    et alors, avec l'expression trouvée à la question précédente,
    \[\la\begin{array}{ll}x_n&=20\lp2\lp\dfrac12\rp^n-1\rp\\[1.4em] y_n&=20\lp\lp\dfrac12\rp^n-1\rp \enar\right.\]


    Comme $-1<\dfrac12<1$ on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$, et donc on trouve finalement
    \[\lim_{n\to+\infty}x_n=\lim_{n\to+\infty}y_n=-20\]



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