Racines du 2nd degré sous forme exponentielle

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2-2\sqrt2\,z+4=0$ .
Écrire les solutions sous forme exponentielle.

Correction

Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta=\lp2\sqrt{2}\rp^2-4\tm1\tm4=-8<0$ .
L'équation admet donc deuxsolutions complexes conjuguées:

$z_1=\dfrac{2\sqrt2-i\sqrt{8}}{2}=\dfrac{2\sqrt2-i2\sqrt2}{2}=\sqrt2\lp1-i\rp$

$z_2=\overline{z_1}=\sqrt2\lp1+i\rp$

Pour écrire sous forme exponentielle ces racines, on détermine leur module et leur argument.
On a $\left| z_1\right|=2$ et $arg\left( z_1\rp=\theta$ tel que $\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
On trouve ainsi que $\theta=-\dfrac{\pi}{4}$ , et donc la forme exponentielle $z_1=2e^{-i\frac{\pi}{4}}$ .
On a alors pour la deuième racine

$z_2=\overline{z_1}=2e^{i\frac{\pi}{4}}$

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