Puissance 6 d'un complexe

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Soit le nombre complexe $z=1+i\sqrt3$ . Calculer

Correction

Pour calculer plus facilement la puissance de ce nombre complexe, on l'écrit tout d'abord sous forme exponentielle.
On calcule ainsi son module et son argument.
On a $|z|=\sqrt{1+3}=2$ et $\arg(z)=\theta$ avec $\cos\theta=\dfrac12$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$ . Ainsi, $\arg(z)=\theta=\dfrac{\pi}{3}$ , et, sous forme exponentielle, $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ .
On a alors,

$z^6=\left( 2e^{i\frac{\pi}{3}}\rp=2^6 e^{6i\frac{\pi}{3}}=64e^{2i}=64$

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