Fonction dans le plan complexe, points invariants

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Le plan est rapporté au repère orthonormal $\left( O;\vec{u},\vec{v}\rp$.
A tout point $M$ d'affixe $z$ du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que    $z'=\dfrac{(3+4i)z+5\overline{z}}{6}$.
On définit la fonction $f$ par $f(M)=M'$.
  1. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=1+2i$, $z_B=1$ et $z_C=3i$.
    Déterminer les affixes des points $A'$, $B'$ et $C'$ images respectives de $A$, $B$ et $C$ par $f$. Placer les points $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$ et $C'$.
  2. On pose $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z$ en fonction de $x$ et $y$.
  3. Montrer que l'ensemble des points $M$ invariants par $f$ est la droite $D$ d'équation $y=\dfrac12 x$.
    Tracer $D$. Que remarque-t-on ?
    (Indication: un point invariant par $f$, ou point fixe, est un point $M$ tel que $f(M)=M$).
  4. Soit $M$ un point quelconque du plan et $M'$ son image par $f$.
    Montrer que $M'$ appartient à la droite $D$.



Correction

Correction

On définit la fonction $f$ par $f(M)=M'$, avec $z'=\dfrac{(3+4i)z+5\overline{z}}{6}$.
  1. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=1+2i$, $z_B=1$ et $z_C=3i$.
    $A'=f(A)$, avec $z_A'=\dfrac{(3+4i)z_A+5\overline{z_A}}{6} =\dfrac{(3+4i)(1+2i)+5(1-2i)}{6} =0$.
    $B'=f(B)$, avec $z_B'=\dfrac{(3+4i)z_B+5\overline{z_B}}{6} =\dfrac{(3+4i)+5}{6}=\dfrac{4+2i}{3}$ $C'=f(C)$, avec $z_C'=\dfrac{(3+4i)z_C+5\overline{z_C}}{6} =\dfrac{(3+4i)(3i)+5(-3i)}{6} =\dfrac{-12-6i}{6}=-2-i$

    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-4,-1.5)(4,3.5) \psline[linewidth=1.pt]{->}(-3.4,0)(4.2,0) \psline[linewidth=1.pt]{->}(0,-1.2)(0,3.6) \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.3,0.5){$\vec{v}$} \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.25){$\vec{u}$} \rput(1,2){$\tm$}\rput(1.3,2){$A$} \rput(1,0){$\tm$}\rput(1.2,-0.3){$B$} \rput(0,3){$\tm$}\rput(-0.3,3){$C$} \rput(0,0){$\tm$}\rput(-.3,-0.3){$A'$} \rput(1.3333,0.66666){$\tm$}\rput(1.6,0.5){$B'$} \rput(-2,-1){$\tm$}\rput(-2.3,-0.8){$C'$} \psplot{-2.8}{4.2}{0.5 x mul}\rput(3.5,2){$D$} \end{pspicture}\]


  2. $z'=\dfrac{(3+4i)z+5\overline{z}}{6} =\dfrac{(3+4i)\left( x+iy\rp+5\left( x-iy\rp}{6} =\dfrac16\Bigl( 8x-4y\Bigr)+i\dfrac16\Bigl( 4x-2y\Bigr)$
    Ainsi, la partie réelle de $z'$ est $\Re e\left( z'\right) =\dfrac13\Bigl( 4x-2y\Bigr)$, et sa partie imaginaire $\Im m\left( z'\rp=\dfrac13\Bigl( 2x-y\Bigr)$.
  3. Soit un point $M$ d'affixe $z$ tel que $f(M)=M$, alors on a $z=\dfrac{(3+4i)z+5\overline{z}}{6}$,
    et, d'après le calcul précédent, si $z=x+iy$, alors $\la\begin{array}{ll} x=\dfrac13\Bigl( 4x-2y\Bigr)\\[0.4cm] y=\dfrac13\Bigl( 2x-y\Bigr)\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x-2y=0\\[0.4cm] -2x+4y=0 \enar\right. $.
    Ces deux équations sont équivalentes, et l'ensemble des points invariants est la droite $D:x-2y=0$. On remarque que les points $A'$, $B'$ et $C'$ sont des points de $D$.
  4. Soit $M$ d'affixe $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$. Alors $M'$ a pour affixe $z'=x'+iy'$ tel que
    $\la\begin{array}{ll} x'=\dfrac13\Bigl( 4x-2y\Bigr)\\[0.4cm] y'=\dfrac13\Bigl( 2x-y\Bigr)\enar\right. $ et on vérifie donc bien que $2y'=\dfrac13\Bigl( 4x-2y\Bigr)=x'$, et donc que $M'\in D$.
    Ainsi tous les points du plan ont une image par $f$ sur la droite $D$.


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