Calcul algébrique complexe, module et argument

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

On considère le nombre complexe $z=\lp\sqrt3+1\rp+i\lp\sqrt3-1\rp$.
  1. Ecrire $z^2$ sous forme algébrique.
  2. Déterminer le module et un argument de $z^2$.
  3. En déduire le module et un argument de $z$.
    Donner la mesure principale de l'argument de $z$.



Correction

Correction


  1. \[\begin{array}{ll} z^2&=\Bigl(\lp\sqrt3+1\rp+i\lp\sqrt3-1\rp\Bigr)^2 \\[.4cm] &=\lp\sqrt3+1\rp^2-\lp\sqrt3-1\rp^2+2i\lp\sqrt3+1\rp\lp\sqrt3-1\rp\\[.4cm] &=4\sqrt3+4i \enar\]

  2. On a donc, $\left|z^2\right|=\sqrt{\lp4\sqrt3\rp^2+4^2}=8$ et $\arg\left( z^2\rp=\theta$ avec $\cos\theta=\dfrac{4\sqrt3}{8}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{4}{8}=\dfrac12$, d'où $\theta=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$, $k\in\Z$.
  3. Comme $\left|z^2\right|=|z|^2=8$, on en déduit que $|z|=\sqrt8=2\sqrt2$.
    De plus, $\arg\left( z^2\rp=2\arg\left( z\rp=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$, $k\in\Z$, et ainsi, $\arg\left( z\rp=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$, d'où $\arg(z)=\dfrac{\pi}{12}$ ou $\arg(z)=\dfrac{\pi}{12}-\pi=-\dfrac{11\pi}{12}$.
    Comme la partie réelle de $z$ est positive $\lp\Re e(z)=\sqrt3+1\rp$, on a nécessairement $\arg(z)=\dfrac{\pi}{12}$.


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