Suites: annales de bac et corrections

Terminale générale, spécialité mathématiques

Annales de bac: sujets et corrigés d'exercices posés au baccalauréat en mathématiques sur les suites: suites récurrentes, limites, graphique, suites arithmétiques et géométriques et sommes des premiers termes

Exercice 1: Bac 2023 - Suite géométrique, exponentielle et Python

Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.

On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.

Partie A : Première modélisation

Dans cette partie, on admet que, chaque mois :

90 % des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.

Au cours du premier mois,

questions ont été posées.

Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le n-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

et, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,$

$u_{n+1} = 0,9u_n + 1,3$

Calculer et et proposer une interprétation dans le contexte de l'exercice.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

$u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0,9^n.$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

4. On considère le programme ci-contre, écrit en langage Python.
Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

$\renewcommand\arraystretch{0.9} \begin{tabular}{|p{5cm}|} \hline def seuil(p) :\\ \qquad n=1\\ \qquad u=3\\ \qquad while u$<=$p :\\ \qquad \qquad n=n+1\\ \qquad \qquad u=0.9*u+1.3 \\ \qquad return n\\ \hline \end{tabular}$

Partie B : Une autre modélisation

Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l'aide d'une nouvelle suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par:

$v_n = 9 - 6 \times e^{-0,19\times(n - 1)}.$

Le terme

est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le

-ième mois sur la FAQ.

Préciser les valeurs arrondies au centième de et .
Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de telle que .

Partie C : Comparaison des deux modèles

L'entreprise considère qu'elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ.
Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?
Justifier votre réponse.
En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme?

Correction exercice 1

Partie A : Première modélisation

et, pour tout entier naturel $n\geqslant1$ , $u_{n+1} = 0,9u_n + 1,3$

$u_2=0,9u_1+1,3=0,9\tm3+1,3=4$ , soit 400 questions au bout de 1 mois et $u_3=0,9u_2+1,3=0,9\tm4+1,3=4,9$ , soit 490 questions au bout du 2ème mois.
Soit $P(n): u_n = 13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n$ , pour $n \geqslant 1$ .
Initialisation: Pour on a $13-\dfrac{100}9\tm0,9^1=13-10=3$ , et comme , on en déduit que la propriété est donc vraie.

Hérédité: Supposonss que, pour un certain entier , la propriété soit vraie, c'est-à-dire: $u_n = 13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n$ .
On a, par définition de la suite, $u_{n+1}=0,9u_n+1,3$ , et donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence,

$\begin{array}{ll} u_{n+1}&=0,9\tm\lp13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n\rp+1,3\\ &=0,9\tm13-\dfrac{100}9\tm0,9^{n+1}+1,3\\ &=13-\dfrac{100}9\tm0,9^{n+1}\enar$

ce qui montre que la propriété est donc aussi vraie.

Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que
$P(n): u_n = 13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n$ est vraie pour tout entier $n \geqslant 1$ .
En utilisant l'expression précédente, on a

$\begin{array}{ll} u_{n+1}-u_n&=\lp13 - \dfrac{100}9\tm0,9^{n+1}\rp-\lp13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n\rp\\[1em] &=13 - \dfrac{100}9\tm0,9^{n+1}-13 + \dfrac{100}9\tm0,9^n\\[.8em] &=\dfrac{100}9\tm0,9^n\lp0,9-1\rp\\[.8em] &=\dfrac{100}9\tm0,9^n\tm0,1>0\enar$

On en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Ce programme retourne le premier rang tel que .
On trouve, soit en effectuant ce programme sur la calculatrice, soit par le calcul exact:

$\begin{array}{ll} u_n>8,5 &\iff 13-\dfrac{100}9\tm0,9^n>8,5\\ &\iff -\dfrac{100}9\tm0,9^n>-4,5\\ &\iff 0,9^n<\dfrac{4,5\tm9}{100}\\ &\iff\ln(0,9^n)=n\ln(0,9)<\ln\lp\dfrac{4,5\tm9}{100}\rp\\ &\iff n>\dfrac1{ln(0,9)}\tm\dfrac{4,5\tm9}{100}\simeq8,58 \enar$

Ainsi, le premier entier, renvoyé par le programme Python lors de l'exécution de seuil(8.5) est .

Partie B : Une autre modélisation $v_n = 9 - 6 \times e^{-0,19\times(n-1)}$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ .

et $v_2=9-6e^{-0,19}\simeq4,04$ .
$\begin{array}{ll}v_n > 8,5 &\iff 9 - 6 \times e^{-0,19\times(n-1)}>8,5 \\ &\iff - 6 \times e^{-0,19\times(n-1)}>-0,5\\ &\iff e^{-0,19(n-1)}<\dfrac{0,5}{6}\\ &\iff -0,19(n-1)<\ln\lp\dfrac{0,5}{6}\rp\\[1em] &\iff n-1>\dfrac1{-0,19}\tm\ln\lp\dfrac{0,5}{6}\rp\\[1em] &\iff n>\dfrac1{-0,19}\tm\ln\lp\dfrac{0,5}{6}\rp+1\simeq 14,08 \enar$

La plus petite valeur entière recherchée est donc .

Partie C : Comparaison des deux modèles

Avec le premier modèle, les 850 questions sont dépassées pour semaines, tandis qu'avec le deuxième modèle, elles sont dépassées pour semaines. Le premier modèle conduit donc à procéder le plus tôt à la modification.
A long terme, c'est-à-dire pour grand, ou encore pour , on a:
- Pour le 1er modèle: comme , on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}0,9^n=0$ et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=13$
- Pour le 2ème modèle: on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}e^{-0,19(n-1)}=0$ et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=9$
À long terme, pour la première modélisation il y a le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme.

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Exercice 2: Bac 2022 - Exponentielle et suite récurrente

Dans le cadre d'un essai clinique on envisage deux protocoles de traiterment de d'une maladie.
L'objectif de cet exercice est d'étudier, pour ces deux protocoles, l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient en fonction du temps.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A : Étude du premier protocole

Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction

définie sur l'intervalle [0 ; 10] par

$f(t) = 3t e^{-0,5t+1},$

où

désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.

1. On admet que la fonction est dérivable sur l'intervalle [0 ; 10] et on note sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout nombre réel de [0 ; 10], on a: $f'(t) = 3(-0,5t + 1)e^{-0,5t+1}$ .
2. En déduire le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle [0 ; 10].
3. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale?
1. Montrer que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; 2] notée $\alpha$ , dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. On admet que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle [2 ; 10], notée $\beta$ , et qu'une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près est 3,46.
2. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5 mg. Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.

Partie B : Étude du deuxième protocole

Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqüre intraveineuse, une dose de

mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de

mg.
On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite progressivement éliminé.
On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
On modélise cette situation à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel

désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la

-ième heure. On a donc

Calculer, selon cette modélisation, la quantité , de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la première heure.
Justifier que, pour tout entier naturel , on a : $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$ .
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a : $u_n<u_{n+1} < 6$ .
2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
3. Déterminer la valeur de $\ell$ . Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
On considère la suite définie, pour tout entier naturel , par .
1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison dont on précisera le premier terme.
2. Déterminer l'expression de en fonction de , puis de n en fonction de .
3. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg. Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.

Correction exercice 2

Partie A : Étude du premier protocole

1. On a avec donc et $v(t)=e^{-0,5t+1}=e^{w(t)}$ avec donc et alors $v'(t)=w'(t)e^{w'(t)}=-0,5e^{-0,5t+1}$ .
  On obtient alors , soit
  
  $\begin{array}{ll}f'(t)&=3e^{-0,5t+1}+3t\tm\lp-0,5e^{-0,5t+1}\rp\\[.4em] &=3e^{-0,5t+1}\lp1-0,5t\rp\\[.4em] &=3(-0,5t + 1)e^{-0,5t+1}\enar$
2. On a alors le signe de lé dérivée et le sens de variation:
  
  $\begin{tabular}{|c|*5c|}\hline $t$ & 0 && 2 && 10 \\\hline $-0,5t+1$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline $e^{-0,5t+1}$ && $+$ &\vline & $+$ & \\\hline $f'(t)$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}$
3. Selon cette modélisation, la quantité maximale de médicament présente dans le sang du patient sera de $f(2)=3\tm2e^0=6$ mg, au bout de 2 heures.
1. Sur [0;2], la fonction est continue (car même dérivable), strictement croissante, avec et , et ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), on sait donc qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation .
  Avec la calculatrice, par balayage par exemple, on touve $1,02<\alpha<1,03$ soit, $\alpha\simeq1,02$ .
2. On peut compléter le tableau de variation:
  
  $\begin{tabular}{|c|*9c|}\hline $t$ & 0 &&$\alpha$ && 2 &&$\beta$&& 10 \\\hline &&&&&&&&&\\ $f$&&\psline[arrowsize=8pt]{->}(-.5,-.5)(1.3,.5)&5&&& \psline[arrowsize=8pt]{->}(-.2,.5)(1.4,-.5)&5&&\\ &&&&&&&&&\\\hline \end{tabular}$
  
  grâce auquel on trouve que la durée d'efficacité du médicament est donc de $\beta-\alpha\simeq3,46-1,02=2,44$ soit 2,44 heures, ou encore 2 heures et 26 minutes.

Partie B : Étude du deuxième protocole

Selon cette modélisation, à la première heure la quantité dans le sang a diminué de 30%, il en reste donc $0,7\tm2=1,4\,\text{mg}$ . On réinjecte de plus une nouvelle dose de 1,8 mg, et on trouve donc que

$u_1=0,7\tm2+1,8=3,2$
De même que précédemment, à la (n+1)-ème heure, la quantité dans le sang présente l'heure précédente, soit a diminué de 30%, soit , et on réinjecte, donc ajoute, 1,8 mg.
On obtient donc bien la relation $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$ .
1. Soit la proposition $\mathcal{P}_n: u_n <u_{n+1} < 6$ .
  
  Initialisation: on a et d'où $\mathcal{P}_1$ est vraie: .
  
  Hérédité: Supposons que pour un certain entier , $\mathcal{P}_n$ soit vraie, c'est-à-dire $u_n <u_{n+1} < 6$ .
  Alors, en multipliant par , on obtient $0,7u_n<0,7u_{n+1}<0,7\tm6=4,2$ ,
  puis en ajoutant 1,8 on aboutit à $0,7u_n+1,8<0,7u_{n+1}+1,8<4,2+1,8$ ,
  c'est-à-dire exactement $u_{n+1}<u_{n+1}<6$ et qui montre donc $\mathcal{P}_{n+1}$ est alors vraie.
  
  Conclusion: on vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier , $\mathcal{P}_n$ est vraie, c'est-à-dire $u_n <u_{n+1} < 6$ .
2. On déduit du résultat précédent que la suite $\left( u_n\rp$ est croissante et aussi qu'elle est majorée par 6.
  On en déduit donc (théorème de convergence monotone) qu'elle converge vers une limite .
3. On a $u_{n+1}=0,7u_n+1,8$ et on sait que $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=l$ .
  Ainsi, on doit nécessairement avoir (théorème du point fixe), que
  
  $l=0,7l+1,8\iff l=\dfrac{1,8}{0,3}=6$
1. Pour tout entier , on a
  
  $\begin{array}{ll}v_{n+1}&=6-u_{n+1}\\ &=6-\lp0,7u_n+1,8\rp\\ &=4,2-0,7u_n\\ &=0,7\lp6-u_n\right) =0,7v_n\enar$
  
  ce qui montre que la suite $\left( v_n\rp$ est bien géométrique de raison et de premier terme .
2. On en déduit alors que, pour tout entier ,
  
  $v_n=v_0\times q^n=4\times0,7^n$
  
  puis, comme $v_n=6-u_n\iff u_n=6-v_n$ , que
  
  $u_n=6-4\tm0,7^n$
3. On arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg, soit lorsque
  
  $\begin{array}{ll}&u_n\geqslant5,5\\ \iff&6-4\tm0,7^n\geqslant5,5\\ \iff&-4\tm0,7^n\geqslant-0,5\enar$
  
  soit, en divisant par , puis en prenant le logarithme népérien qui est strictement croissant,
  
  $\begin{array}{ll}&u_n\geqslant5,5\\ \iff&0,7^n\leqslant\dfrac{-0,5}{-4}=0,125\\ \iff&\ln\lp0,7^n\rp=n\ln(0,7)\leqslant\ln(0,125)\enar$
  
  Enfin, en divisant par $\ln(0,7)<0$ , on obtient finalement
  
  $\begin{array}{ll}&u_n\geqslant5,5\\ \iff n\geqslant\dfrac{\ln(0,125)}{\ln(0,7)}\simeq5,8\enar$
  
  Comme on réalise une injection par heure, il faut donc en réaliser 6.

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Exercice 3: Bac 2021 - Suite récurrente

La suite $\left( u_n\rp$ est définie sur $\N$ par

et pour tout entier naturel

$u_{n+1} = \dfrac34u_n + \dfrac14n + 1.$

Calculer, en détaillant les calculs, et sous forme de fraction irréductible.

L'extrait, reproduit ci-contre, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ .

$\begin{tabular}{|c|*2{p{2.4cm}|}}\hline & A&B \\ \hline 1 &$n$&$u_n$\\ \hline 2 &0 &1\\ \hline 3 &1 &1,75\\ \hline 4 &2 &2,5625\\ \hline 5 &3 &3,421875\\ \hline 6 &4 &4,31640625\\ \hline \end{tabular}$
1. Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B ?
2. Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ .
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a : $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$ .
2. En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$ .
3. Démontrer que :
  
  $\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}n = 1$
On désigne par la suite définie sur par
1. Démontrer que la suite $\left( v_n\rp$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$ .
2. En déduire que, pour tout entier naturel ,on a: $u_n = \lp\dfrac34\rp^n+n$ .

Correction exercice 3

Pour , $u_1=\dfrac34u_0+\dfrac14\tm0+1=\dfrac34\tm1+1=\dfrac74$ .
Pour , $u_1=\dfrac34u_1+\dfrac14\tm1+1=\dfrac34\tm\dfrac74+\dfrac14+1=\dfrac{41}{16}$ .
1. La formule, étirée ensuite vers le bas, que l'on peut écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B est: = 3/4 * B2 + 1/4 * A2 +1
2. La suite $\left(u_n\right)$ semble croissante.
1. Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété: $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$ .
  Initialisation
  Pour , et $0 \leqslant 1 \leqslant 1$ donc $\mathcal{P}_0$ est vraie.
  
  Hérédité
  Supposons que, pour un certain entier , $\mathcal{P}_n$ est vraie, c'est-à-dire: $n \leqslant u_n \leqslant n+1$ .
  Alors,
  
  $\begin{array}{ll}&n\leqslant u_n \leqslant n+1\\[.6em] \iff&\dfrac34n\leqslant\dfrac34u_n\leqslant\dfrac34(n+1)\\[.8em] \iff&\dfrac34n +\dfrac14n\leqslant\dfrac34u_n+\dfrac14n\leqslant\dfrac34(n+1)+\dfrac14n\\[.6em] \iff&n \leqslant\dfrac34u_n+\dfrac14n \leqslant n+\dfrac34\\[7pt] \iff&n+1 \leqslant\dfrac34u_n+\dfrac14n+1\leqslant n+\dfrac34+1\\ \iff&n+1 \leqslant u_{n+1}\leqslant n+\dfrac74\leqslant n+2\enar$
  
  ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang .
  
  Conclusion On vient donc de démonter, d'après le principe de récurrence, que, pour tout entier $n\geqslant 0$ , $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$ .
2. D'après la question précédente, pour tout , $n\leqslant u_n \leqslant n+1$ donc aussi, au rang suivant, $n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n+2$ .
  On a alors,
  
  $n \leqslant u_n \leqslant n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n+2$
  
  et donc, entre autre que $u_n \leqslant u_{n+1}$ , c'est-à-dire que la suite est croissante.
  
  On a aussi de ces inégalités que $n\leqslant u_n$ , et comme $\dsp\lim_{n\to +\infty} n = +\infty$ donc, par comparaison (corollaire du théorème des gendarmes), $\dsp\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$ .
3. Pour tout , $n\leqslant u_n \leqslant n+1$ donc on a aussi
  
  $1 \leqslant \dfrac{u_n}{n} \leqslant \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}$
  
  avec $\dsp\lim_{n \to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$ , donc, d'après le théorème des gendarmes: $\dsp\lim_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{n}=1$ .
On désigne par la suite définie sur par
1. Pour tout ,
  
  $\begin{array}{ll}v_{n+1}&=u_{n+1} - (n+1) \\[.4em] &=\dfrac34u_n + \dfrac{1}{4}n+1 -n-1\\[.7em] &=\dfrac34u_n -\dfrac34n\\[.7em] &=\dfrac34\left( u_n -n\rp\\[.7em] &=\dfrac{3}{4}v_n\enar$
  
  Donc la suite est géométrique de raison $q=\dfrac{3}{4}$ et de premier terme
2. On en déduit que, pour tout ,
  
  $v_n=v_0\times q^n = \lp\dfrac34\rp^n$
  
  et donc aussi que
  
  $u_n=v_n+n=\lp\dfrac34\rp^n+n$

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Exercice 4: Bac septembre 2019 - Suite récurrente

Soit

la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 4] par $f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}$ .

Partie A On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

$u_0 = 3 \; \text{et pour tout entier naturel }\; n,\; u_{n+1} = f\left(u_n\right).$

On admet que cette suite est bien définie.

Calculer .
Montrer que la fonction est croissante sur l'intervalle [0 ; 4].
Montrer que pour tout entier naturel , $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$ .
1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
2. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ; montrer l'égalité: $\ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}$ . .
3. Déterminer la valeur de la limite $\ell$ .

Partie B On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par :

et pour tout entier naturel

, $v_{n+1} = f\left(v_n\right)$ .

On donne en Annexe, à rendre avec la copie, la courbe représentative, $\mathcal{C}_f$ , de la fonction et la droite d'équation .
Placer sur l'axe des abscisses par construction géométrique les termes , et sur l'annexe, à rendre avec la copie.
Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite $\left(v_n\right)$ quand tend vers l'infini ?
1. Montrer que pour tout entier naturel , $1 - v_{n+1} = \left(\dfrac{2}{4 + v_n} \right) \left(1 - v_n\right)$ .
2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel , $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ .
La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.

Annexe

$\psset{unit=11cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.15,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.15,1.1) \psline(1.1,1.1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.15}{3 x mul 2 add x 4 add div} \uput[d](0.8,0.8){$D$}\uput[u](0.8,0.92){\blue $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture}$

Correction exercice 4

Partie A

$u_1 = f\left(u_0\right) = \dfrac{2 + 9}{4 + 3} = \dfrac{11}{7}$ .
La fonction est définie et dérivable sur [0 ; 4] et sur cet intervalle :
$f'(x) = \dfrac{3(4 + x) - 1(2 + 3x)}{(4 + x)^2} = \dfrac{12 + 3x - 2 - 3x}{(4 + x)^2} = \dfrac{10}{(4 + x)^2}$
Quotient de nombres positifs ce nombre dérivé est positif quel que soit dans l'intervalle [0 ; 4]. La fonction est donc croissante sur [0 ; 4].
Démonstration par récurrence :
Initialisation
On a d'après la première question : $1 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 3$ : l'encadrement est vrai au rang ;
Hérédité
Supposons que pour $n \in \N$ , $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$ ; par croissance de la fonction sur [0 ; 4], on
$f(1) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_{n}\right) \leqslant f(3)$ ou car $f(1) = \dfrac{5}{5} = 1$ et $f(3) = \dfrac{11}{7} \leqslant 3$ ,
$1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ : la relation est donc vraie au rang .
Conclusion : l'encadrement est vrai au rang et s'il est vrai à un rang quelconque il est vrai au rang suivant : d'après le principe de récurrence pour tout naturel , $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$ .
1. D'après la question précédente la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, minorée par : elle converge donc vers une limite $\ell \geqslant 1$ .
2. De l'égalité $u_{n+1} = f\left(u_n \right) = \dfrac{2 + 3u_n}{4 + u_n}$ on en déduit par continuité de la fonction (puisque est dérivable) :
  
  $\ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}.$
3. On en déduit que $\ell(4 + \ell) = 2 + 3\ell \iff \ell^2 + \ell - 2 = 0$ .
  Or $\Delta = 1 + 4 \times 2 = 9 = 3^2$ . Il y a deux solutions :
  $\ell_1 = \dfrac{- 1 - 3}{2} = -2$ et $\ell_2 = \dfrac{- 1 + 3}{2} = 1$ .
  Comme $\ell \in [1~;~3]$ , la seule solution est $\ell_2 = 1$ .

Partie B

Voir l'annexe.
On peut conjecturer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et qu'elle a pour limite 1.
1. $1 - v_{n+1} = 1 - \dfrac{2 + 3v_n}{4 + v_n} = \dfrac{4 + v_n - 2 - 3v_n}{4 + v_n}= \dfrac{2 - 2v_n}{4 + v_n} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n\right)$ .
2. Initialisation pour , ; or $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 1$ . On a bien $0 \leqslant 1 - v_0 \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$ .
  Hérédité Supposons qu'au rang $n \in \N$ quelconque, on ait $1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ .
  On a $1 - v_{n+1} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n \right)$ , donc d'après l'hypothèse de récurrence :
  $1 - v_{n+1} \leqslant \dfrac{2}{4 + v_n} \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^n$ .
  Or $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \iff v_n \geqslant 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \geqslant 0$ ; il suit que $4 + v_n \geqslant 4$ , donc en prenant les inverses $0 \leqslant \dfrac{1}{4 + v_n} \leqslant \dfrac{1}{4}$ .
  On a donc $0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant 2 \times \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2} \right)^n$ , soit finalement :
  $0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1}$ : l'encadrement est vrai au rang .
  L'encadrement est vrai au rang et s'il est vrai à un rang quelconque il est vrai au rang : d'après le principe de récurrence :
  quel que soit le naturel , $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ .
Comme $0< \dfrac{1}{2} < 1$ , on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$ , donc l'encadrement trouvé à la question précédente montre que la la limite de , donc :

$\dsp\lim_{n \to + \infty} v_n = 1.$

Annexe

$\psset{unit=11cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.15,1.1) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.15,1.1) \psline(1.1,1.1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.15}{3 x mul 2 add x 4 add div} \uput[ul](1.1,1.1){$D$}\uput[d](1.1,1.03){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[ArrowInside=->](0.1,0)(0.1,0.561)(0.561,0.561)(0.561,0.8074)(0.8074,0.8074)(0.8074,0.92)(0.92,0.92) \psline(0.561,0)(0.561,0.561) \psline(0.8074,0.8074)(0.8074,0) \psline(0.92,0)(0.92,0.92) \uput[d](0.1,-0.05){$v_0 =0,1$}\uput[d](0.561,-0.05){$v_1=0,561$}\uput[d](0.8074,-0.05){$v_2=0,807$}\uput[d](0.92,-0.05){$v_3=0,92$} \end{pspicture}$

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Exercice 5: Bac 2014, Nouvelle Calédonie - Suite récurrente, construction graphique des 1er termes, récurrence, somme des 1er termes et algorithme

On considère la fonction

définie sur l'intervalle $$[0~;~+ \infty[$ par

$f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.$

On admettra que

est dérivable sur l'intervalle $$[0~;~+ \infty[$ .
On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe $$\mathcal{C}$ représentative de

ainsi que la droite $$\mathcal{D}$ d'équation

Démontrer que est croissante sur l'intervalle $$[0~;~+ \infty[$ .
Résoudre l'équation sur l'intervalle $$[0~;~+ \infty[$ . On note $$\alpha$ la solution.
On donnera la valeur exacte de $$\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $$10^{-2}$ près.
On considère la suite $$\left(u_n\right)$ définie par et, pour tout entier naturel , $$u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ .
Sur la figure de annexe 1, en utilisant la courbe $$\mathcal{C}$ et la droite $$\mathcal{D}$ , placer les points , et d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives , et .
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $$\left( u_n\rp$ ?
1. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel ,
  
  $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$
  
  où $$\alpha$ est le réel défini dans la question 2.
2. Peut-on affirmer que la suite $$\left( u_n\rp$ est convergente ? On justifiera la réponse.
Pour tout entier naturel , on définit la suite par

$S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.$
1. Calculer , et . Donner une valeur approchée des résultats à $$10^{-2}$ près.
2. Compléter l'algorithme donné en annexe 2 pour qu'il affiche la somme pour la valeur de l'entier demandée à l'utilisateur.
3. Montrer que la suite $$\left( S_n\rp$ diverge vers $$+ \infty$ .

Annexe 1 à rendre avec la copie

$\psset{unit=1.35cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psline[linecolor=cyan](7.2,7.2) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture}$

Annexe 2 à rendre avec la copie

$\renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabular}{|l l|}\hline \textbf{Entr\'ee:}&$n$ un entier naturel \\ \textbf{Variables:}&$u$ et $s$ sont des variables r\'eelles\\ &$n$ et $i$ sont des variables enti\`eres\\ \textbf{Initialisation:}& $u$ prend la valeur 1 \\ &$s$ prend la valeur $u$ \\ &$i$ prend la valeur 0\\ &Demander la valeur de $n$ \\ \textbf{Traitement:}&Tant que \ldots\\ &Affecter \`a $i$ la valeur $i + 1$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur \ldots\\ &Affecter \`a $s$ la valeur \ldots\\ &Fin Tant que \\ \textbf{Sortie:}&Afficher $s$.\\ \hline \end{tabular}$

Correction exercice 5

Nouvelle Calédonie, 2014
On considère la fonction

définie sur l'intervalle $$[0;+\infty[$ par $$f(x)=5-\dfrac{4}{x + 2}$ .

$$f'(x)=0-4\dfrac{-1}{(x+2)^2}=\dfrac{4}{(x+2)^2}>0$ sur $$[0;+\infty[$ .
Donc la fonction est strictement croissante sur $$[0;+\infty[$ .
On résout dans $$[0;+\infty[$ l'équation :
$$f(x) = x \iff 5-\dfrac{4}{x+2}=x \iff \dfrac{5(x+2)-4 -x(x+2)}{x+2} = 0 \iff \dfrac{5x+10-4-x^2-2x}{x+2}=0\\[5pt] \phantom{f(x)=x} \iff \dfrac{-x^2+3x+6}{x+2}=0 \iff -x^2+3x+6 = 0 \text{ et }x+2 \neq 0$
Le trinôme du second degré a pour discriminant $$\Delta=9-4\times 6\times (-1)=33>0$ , et admet donc 2 solutions réelles: $$\dfrac{-3-\sqrt{33}}{-2}=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}$ et $$\dfrac{3-\sqrt{33}}{2}$ .
Cette deuxième solution est négative donc l'unique solution de l'équation dans l'intervalle $$[0;+\infty[$ est $$\alpha=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}\approx 4,37$ .
On considère la suite $$\left(u_n\right)$ définie par et, pour tout entier naturel , $$u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ .
Sur la figure de annexe 1, on place les points , et d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives , et .
On peut conjecturer que la suite est croissante et converge vers $$\alpha$ .
1. On cherche à montrer que la propriété $$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$ est vraie pour tout entier .
  Initialisation: Pour , et $$u_{n+1}=u_1=f(u_0)=5-\dfrac{4}{1+2}=\dfrac{11}{3}$ ; de plus $$\alpha \approx 4,37$ . On a $$0 \leqslant 1 \leqslant \dfrac{11}{3} \leqslant \alpha$ ce qui veut dire que la propriété est vraie au rang 0.
  
  Hérédité: On suppose la propriété vraie au rang $$p \geqslant 0$ , autrement dit: $$0\leqslant u_p \leqslant u_{p+1} \leqslant \alpha$ .
  On sait d'après la question 1. que la fonction est strictement croissante sur $$[0;+\infty[$ donc: $$0\leqslant u_p \leqslant u_{p+1} \leqslant \alpha \Longrightarrow f(0) \leqslant f(u_p) \leqslant f(u_{p+1}) \leqslant f(\alpha)$
  $$f(0)=3 \geqslant 0$ , $$f(u_p)=u_{p+1}$ et $$f(u_{p+1})=u_{p+2}$ .
  De plus, $$\alpha$ est solution de l'équation donc $$f(\alpha)=\alpha$ .
  On a donc $$0 \leqslant u_{p+1} \leqslant u_{p+2} \leqslant \alpha$ ; on peut dire que la propriété est vraie au rang .
  
  Conclusion: On a donc démontré d'après le principe de récurrence, que, pour tout entier naturel , $$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$ .
2. Pour tout , $$u_n \leqslant u_{n+1}$ donc la suite est croissante. Pour tout , $$u_n \leqslant \alpha$ donc la suite est majorée par $$\alpha$ .
  On en déduit que la suite est convergente.
Pour tout entier naturel , on définit la suite par .
1. ; $$S_1=u_0+u_1 = 1+\dfrac{11}{3} = \dfrac{14}{3} \approx 4,67$
  ; $$u_2=f(u_1)=f\left(\dfrac{11}{3}\right ) = \dfrac{73}{17}$ donc $$S_2 = \dfrac{14}{3}+\dfrac{73}{17} = \dfrac{457}{51} \approx 8,960$ donc $$S_2 \approx 8,96$ .
2. On complète l'algorithme donné en annexe 2 pour qu'il affiche la somme pour la valeur de l'entier demandée à l'utilisateur.
3. On sait que la suite est croissante donc, pour tout de $$\N$ , $$u_n\geqslant u_0$ .
  Or , donc, pour tout , $$u_n \geqslant 1$ et donc $$S_n = u_0+ u_1 + \ldots + u_n \geqslant n+1$ . Or $$\dsp\lim_{n \to +\infty} n+1=+\infty$ donc, d'après les théorèmes de comparaison sur les limites: $$\dsp\lim_{n\to +\infty} S_n=+\infty$

Annexe

$\psset{unit=1.35cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psaxes[linewidth=1.25pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psline[linecolor=cyan](7.2,7.2) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub} \uput[dl](0,0){O} \psset{linecolor=red} \psline(1,0)(1,3.67) \psline(0,3.67)(3.67,3.67) \psline(3.67,0)(3.67,4.294) \psline(0,4.294)(4.294,4.294) \psline(4.294,0)(4.294,4.364) \uput*{8pt}[d](1,0){\red $M_0$} \uput*{8pt}[d](3.67,0){\red $M_1$} \uput[l](0,3.67){\red $u_1$} \uput*{8pt}[d](4.294,0){\red $M_2$} \uput[l](0,4.294){\red $u_2$} \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](4.37,0)(4.37,4.37) \uput[dr](4.37,0){\blue $\alpha$} \end{pspicture}$

Annexe 2

$\renewcommand\arraystretch{1.2} \begin{tabular}{|l l|}\hline \textbf{Entr\'ee:}&$n$ un entier naturel \\ \textbf{Variables:}&$u$ et $s$ sont des variables r\'eelles\\ &$n$ et $i$ sont des variables enti\`eres\\ \textbf{Initialisation:}& $u$ prend la valeur 1 \\ &$s$ prend la valeur $u$ \\ &$i$ prend la valeur 0\\ &Demander la valeur de $n$ \\ \textbf{Traitement:}& Tant que $\red i < n$\\ & \hspace*{1cm} Affecter \`a $i$ la valeur $i + 1$\\ & \hspace*{1cm} Affecter \`a $u$ la valeur $\red 5 - \dfrac{4}{u + 2}$\\ & \hspace*{1cm} Affecter \`a $s$ la valeur $\red s+u$\\ &Fin Tant que \\ \textbf{Sortie:}&Afficher $s$\\ \hline \end{tabular}$

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Exercice 6: Bac 2013, France métroplitaine - Suite récurrente, récurrence, somme de termes

Bac S, 20 juin 2013, 5 points
Soit la suite numérique

définie sur

par :

1. Calculer et . On pourra en donner des valeurs approchées à près.
2. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
1. Démontrer que pour tout entier naturel ,
2. Démontrer que pour tout entier naturel ,
3. En déduire une validation de la conjecture précédente.
On désigne par la suite définie sur par .
1. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison .
2. En déduire que pour tout entier naturel ,
3. Déterminer la limite de la suite .
Pour tout entier naturel non nul , on pose:
1. Exprimer en fonction de .
2. Déterminer la limite de la suite .

Correction exercice 6

1. On calcule les premiers termes, par exemple en utilisant le mode récurrence de la calculatrice, et on obtient: ; ; ;
2. On peut donc émettre la conjecture que la suite est croissante. On pourra en tout cas affirmer qu'elle n'est pas décroissante.
1. Nous allons montrer par récurrence, pour tout entier naturel , la propriété : . Initialisation : Puisque l'on a et , on vérifie bien : : la propriété est bien vraie.
  
  Hérédité : Pour un entier naturel donné, on suppose la propriété vraie. On a . Par hypothèse de récurrence : En multipliant par un nombre positif: , soit Puis, en ajoutant un même nombre dans chaque membre : Ce qui donne : . On a donc , c'est à dire que la propriété est encore vraie. Conclusion: Puisque la propriété est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire que pour tout entier naturel , on a vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel , on a bien .
2. On a donc bien . Comme on l'a montré à la question précédente, pour tout naturel, on a ce qui équivaut à dire que la différence est positive, et elle le reste en étant multipliée par , donc la différence entre deux termes consécutifs étant positive, on confirme bien que notre conjecture était correcte : la suite est bien croissante, dès le rang 0.
1. Exprimons, pour un entier naturel quelconque, en fonction de : Donc . La relation de récurrence obtenue confirme que la suite est bien géométrique de raison et de premier terme .
2. On peut donc en déduire que pour totu entier , . Enfin, puisque l'on a, pour tout , , on en déduit : , et donc on aboutit bien à l'expression demandée : .
3. Puisque la raison est strictement comprise entre et , on en déduit que la limite de la suite est 0, et donc par limite d'une somme de suites, la limite de la suite est donc , et la suite est donc divergente.
1. est la somme de premiers termes de la suite .
2. On en déduit: . Puisque on a : , et donc: . De plus , et donc finalement, par limite d'une somme, .

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Exercice 7: Bac 2013, Liban - Suite récurrente, algorithme

(Bac S, 28 mai 2013, Liban, 4 points)
On considère la suite numérique

définie pour tout entier naturel

par

Partie A

On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite, du rang au rang . Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
Pour on obtient l'affichage suivant :

Pour , les derniers termes affichés sont :

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite ?
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .
2. Démontrer que, pour tout entier naturel , . La suite est-elle monotone ?
3. Démontrer que la suite est convergente.

Partie B Recherche de la limite de la suite

On considère la suite

définie pour tout

entier naturel par

Démontrer que est une suite arithmétique de raison
En déduire l'expression de , puis celle de en fonction de .
Déterminer la limite de la suite .

Correction exercice 7

Partie A

L'algorithme n1 calcule bien tous les termes de à mais n'affiche par contre que le dernier .
Dans l'algorithme n2, à chaque boucle la valeur de est remise à . cet algorithme calcule donc fois de suite à partir de et ne calcule antre autre pas les termes de à .
L'algorithme n3 calcule tous les termes de à et les affiche bien successivement (l'affichage se fait dans la boucle, après chaque calcul de ).

L'algorithme n3 est donc l'algorithme qui convient.
D'après les tables de valeurs de la suite la suite semble croissante et converger vers un nombre proche de .
1. Montrons par récurrence que, pour tout entier , .
  
  Initialisation: Pour , on a bien car ; ainsi la propriété est vraie au rang .
  
  Hérédité: Supposons que pour un certain entier , on ait .
  On a alors , puis , car la fonction inverse est décroissante sur .
  Ainsi, en multipliant par , .
  On a donc alors , et la propriété est donc encore vraie au rang .
  
  Conclusion: D'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel .
2. Pour tout entier , .
  
  Or, d'après la question précédente, pour tout , , ainsi donc (en particulier ), et , d'où .
  Ainsi la suite est strictement croissante.
3. Comme la suite est croissante et majorée par 3, elle converge donc vers une limite inférieure ou égale à 3.

Partie B

ainsi la suite est arithmétique de raison .
On en déduit que, pour tout entier , , avec , et donc, .
De plus , et on a donc, .
Comme , on a donc .

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Exercice 8: Bac 2013, Amérique du nord - suite récurrente, algorithme, suite logarithmique intermédiaire géométrique

On considère la suite $$\left( u_n\rp$ définie par

et, pour tout entier naturel

$u_{n+1} = \sqrt{2u_n}.$

On considère l'algorithme suivant:

$\begin{tabular}{|ll|}\hline Variables :&$n$ est un entier naturel\\ &$u$ est un r\'eel positif\\ Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur 1\\ Traitement :&Pour $i$ variant de 1 \`a $n$ :\\ &\hspace{0.3cm}| Affecter \`a $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\ &Fin de Pour\\ Sortie :& Afficher $u$\\ \hline \end{tabular}$
1. Donner une valeur approchée à $$10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit .
2. Que permet de calculer cet algorithme ?
3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de .
  
  $\begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}\hline $n$ & 1 &5 &10 &15 &20\\ \hline Valeur affich\'ee &1,4142 &1,9571 &1,9986 &1,9999 &1,9999\\ \hline \end{tabular}$
  
  Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $$\left(u_{n}\right)$ ?
1. Démontrer que, pour tout entier naturel $$n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$ .
2. Déterminer le sens de variation de la suite $$\left(u_{n}\right)$ .
3. Démontrer que la suite $$\left( u_n\rp$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
On considère la suite définie, pour tout entier naturel , par .
1. Démontrer que la suite $$\left( v_n\rp$ est la suite géométrique de raison $$\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $$v_0=-\ln 2$ .
2. Déterminer, pour tout entier naturel , l'expression de $$v_{n}$ en fonction de , puis de $$u_{n}$ en fonction de .
3. Déterminer la limite de la suite $$\left( u_n\rp$ .
4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de telle que .
  
  $\begin{tabular}{|l l|}\hline Variables:&$n$ est un entier naturel\\ & $u$ est un r\'eel\\ Initialisation:&Affecter \`a $n$ la valeur $0$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur 1\\ Traitement:&\\ &\\ Sortie:&\\ \hline \end{tabular}$

Correction exercice 8

Amérique du Nord, 2013
On considère la suite $$\left( u_n\rp$ définie par

et, pour tout entier naturel

$u_{n+1}=\sqrt{2u_n}.$

1. Pour , la variable de la boucle varie de 1 à 3:
  - Pour , on affecte à la valeur $$\sqrt{2u}=\sqrt{2}\simeq 1,4142$
  - Pour , on affecte à la valeur $$\sqrt{2u}\simeq\sqrt{2\times 1,4142}\simeq 1,6818$
  - Pour , on affecte à la valeur $$\sqrt{2u}\simeq\sqrt{2\times 1,6818}\simeq 1,8340$
  L'algorithme affiche finalement la dernière valeur de trouvée: .
2. Cet algorithme permet de calculer et d'afficher le terme de rang de la suite $$\left( u_n\rp$ .
3. D'après ce tableau des valeurs approchées, on peut conjecturer que la suite est croissante et converge vers 2.
1. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel , $$0<u_n\leqslant 2$ . Initialisation: Pour , , donc on a bien $$0<u_n\leqslant2$ . Hérédité: Supposons que pour un entier naturel on ait $$0<u_n\leqslant2$ , alors,
  en multiplinat ces inégalités par , $$0<2u_n\leqslant 4$ ,
  puis, comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $$\R_+$ , on a $$0=\sqrt{0}<\sqrt{2u_n}\leqslant \sqrt{4}=2$ .
  Ainsi, comme $$\sqrt{2u_n}=u_{n+1}$ , on a donc bien encore, au rang , $$0<u_{n+1}\leqslant2$ .
  Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel , $$0<u_n\leqslant2$ .
2. Pour déterminer le sens de variation de la suite, on peut procéder de (au moins) deux façons:
  1ère méthode: par récurrence.
  Initialisation: et $$u_1=\sqrt{2}\simeq 1,41<u_0$ . On a donc initialement, pour , $$u_{n+1}<u_n$ .
  Hérédité: Supposons que pour un entier , on ait $$u_{n+1}<u_n$ , alors,
  en multipliant par , $$2u_{n+1}<2u_n$ ,
  puis, comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $$\R_+$ et que, d'après la question précédente, pour tout , on a donc $$\sqrt{2u_{n+1}}<\sqrt{2u_n}$ ,
  soit $$u_{n+2}<u_{n+1}$ , et la propriété $$u_{n+1}<u_n$ est encore vraie au rang suivant.
  Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier , $$u_{n+1}<u_n$ , c'est-à-dire que la suite $$\left( u_n\rp$ est strictement croissante.
  
  2ème méthode: démonstration directe.
  Pour $$n\in\N$ , on a $$u_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n}-u_n$ , soit, en utilisant la quantité conjuguée:
  
  $u_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n}-u_n =\dfrac{2u_n-u_n^2}{\sqrt{2u_n}+u_n} =\dfrac{u_n\left( 2-u_n\rp}{\sqrt{2u_n}+u_n}$
  
  Or, d'après la question précédente, $$0<u_n\leqslant 2$ , et donc, $$2-u_n\geqslant0$ , et $$\sqrt{u_n}+u_n>0$ .
  On a donc $$u_{n+1}-u_n\geqslant 0$ , et la suite $$\left( u_n\rp$ est donc croissante.
3. On vient de prouver la suite $$\left( u_n\rp$ est strictement croissante et est majorée par 2, on en déduit qu'elle converge vers une limite réelle .
1. Pour tout entier naturel , $$v_n=\ln u_n-\ln2=$ , donc,
  
  $v_{n+1} = \ln u_{n+1}-\ln2=\ln\lp\sqrt{2u_{n}}\rp-\ln2 =\dfrac12\ln\left( 2u_n\rp-\ln2 =\dfrac12\left( \ln2+\ln u_n\rp-\ln2 =\dfrac12\lp\ln u_n-\ln2\rp=\dfrac12 v_n$
  
  Ainsi, $$\left( v_n\rp$ est la suite géométrique de raison $$\dfrac12$ et de 1er terme $$v_0=\ln u_0-\ln2=\ln1-\ln2=-\ln2$ .
2. On déduit de ce qui précède que pour tout entier naturel , $$v_n=-\ln 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ , puis que $$v_n=\ln u_n-\ln2\iff \ln u_n=v_n+\ln2\iff u_n=e^{v_n+\ln2}=e^{v_n}e^{\ln2}=2e^{v_n}$ .
3. Comme $$0<\dfrac12<1$ , $$\dsp\lim_{n\to+\infty}{\lp\dfrac12\rp^n}=0$ et donc $$\dsp\lim_{n\to+\infty}{\left( v_n\rp}=0$ .
  Comme $$\dsp\lim_{x\to0}{e^x}=1$ , par composition des limites on obtient: $$\dsp\lim_{n\to+\infty}{e^{v_n}}=1$ et finalement: $$\dsp\lim_{n\to+\infty}{u_n}=2$ .
4. $\begin{tabular}{|l l|}\hline Variables: &$n$ est un entier naturel\\ & $u$ est un r\'eel\\ Initialisation:&Affecter \`a $n$ la valeur $0$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur 1\\ Traitement:&Tant que $u\leqslant 1,999$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\ &Affecter \`a $n$ la valeur $n+1$\\ Sortie:&Afficher $n$\\ \hline \end{tabular}$

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Exercice 9: Bac 2013, Asie - Un exercice bien complet sur les suites, et avec un algorithme

Partie A

On considère la suite $$\left( u_n\rp$ définie par:

et, pour tout entier naturel

$u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_n}{3 + u_n}.$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a : $$u_{n} > 1$ .
1. Établir que, pour tout entier naturel , on a: $$u_{n+1}- u_{n}=\dfrac{\lp1 - u_n\rp\lp1 + u_n\rp}{3+u_n}$ .
2. Déterminer le sens de variation de la suite $$\left( u_n\rp$ .
  En déduire que la suite $$\left( u_n\rp$ converge.

Partie B

On considère la suite $$\left( u_n\rp$ définie par:

et, pour tout entier naturel

$u_{n+1}=\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}.$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

On considère l'algorithme suivant :

$\begin{tabular}{|c |l|}\hline Entr\'ee& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline Initialisation &Affecter \`a $u$ la valeur 2\\ \hline Traitement et sortie&POUR $i$ allant de 1 \`a $n$\\ &\hspace{1cm}Affecter \`a $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\ &\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline &FIN POUR\\ \hline \end{tabular}$

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour . Les valeurs de seront arrondies au millième.

$\begin{tabular}{|*4{p{1.5cm}|}}\hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $i$&1&2& 3\\ \hline \rule[1.4cm]{0.3cm}{-0.8cm} $u$&&&\\ \hline \end{tabular}$
Pour , on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :

$\begin{tabular}{|c|*{9}{p{1.3cm}|}}\hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $u$&\footnotesize{1,0083}&\footnotesize{0,9973}&\footnotesize{1,0009}&\footnotesize{0,9997}&\footnotesize{1,0001}&\footnotesize{0,99997}&\footnotesize{1,00001}&\footnotesize{0,999996}&\footnotesize{1,000001}\\ \hline \end{tabular}$

Conjecturer le comportement de la suite $$\left(u_{n}\right)$ à l'infini.
On considère la suite définie, pour tout entier naturel , par : .
1. Démontrer que la suite $$\left( v_n\rp$ est géométrique de raison $$-\dfrac13$ .
2. Calculer puis écrire en fonction de .
1. Montrer que, pour tout entier naturel , on a: $$v_n\neq 1$ .
2. montrer que, pour tout entier naturel , on a: $$u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}$ .
3. Déterminer la limite de la suite $$\left( u_n\rp$ .

Correction exercice 9

Partie A

Initialisation : la relation est vraie au rang ;
Hérédité : supposons qu'il existe un naturel tel que .
$$\dfrac{1+3u_p}{3+u_p}=\dfrac{3+u_p-2+2u_p}{3+u_p} =\dfrac{\lp3+u_p\right) + \lp 2u_p-2\right)}{3+u_p} =1+2\dfrac{u_p-1}{3+u_p}$ .
Par hypothèse de récurrence on a:
$$u_{p} - 1$ et comme $$u_{p} > 1,\, 3 + u_{p} > 4 > 0$ donc son inverse $$\dfrac{1}{3 + u_{p}} > 0$ et finalement $$\dfrac{u_{p} - 1}{3 + u_{p}} > 0$ , c'est-à-dire que $$u_{p+1} = \dfrac{1 + 3u_{p}}{3 + u_{p}} > 1$
Conclusion: on a démontré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel , .
1. Pour tout entier naturel , $$u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}} - u_{n} = \dfrac{1 + 3u_{n} - 3u_{n}- u_{n}^2}{3 + u_{n}} = \dfrac{1 - u_{n}^2}{3 + u_{n}} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$ .
2. On sait que pour tout entier , $$u_n>1 \Rightarrow u_n^2 > 1^2 \Rightarrow 1 - u_{n}^2 < 0$ et comme $$3 + u_{n} > 0$ , on a finalement $$u_{n+1}-u_n<0$ , ce qui signifie que la suite $$\left( u_n\rp$ est décroissante.
  La suite $$\left( u_n\rp$ est décroissante et minorée par : elle converge donc vers une limite supérieure ou égale à .

Partie B

$\begin{tabular}{|*{4}{p{1.5cm}|}}\hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $i$&1&2& 3\\ \hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $u$&0,800&1,077&0,976\\ \hline \end{tabular}$
La suite semble converger vers .
1. $$v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 1} = \dfrac{\frac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}} - 1}{\frac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}} + 1} = \dfrac{0,5 - 0,5u_{n}}{1,5 + 1,5u_{n}} = \dfrac{- 0,5\left(u_{n} - 1\right)}{1,5\left(u_{n} + 1 \right)} = -\dfrac{1}{3}v_{n}$ .
  La suite $$\left( v_n\rp$ est donc géométrique de raison $$-\dfrac13$ .
2. On a $$v_0=\dfrac{2-1}{2+3}=\dfrac13$ .
  On sait qu'alors pour tout naturel , $$v_n=\dfrac13\tm\lp-\dfrac13\rp^n$ .
1. Quel que soit le naturel , $$\lp-\dfrac13\rp^n \leqslant1$ , donc $$v_n\leqslant\dfrac13$ et par conséquent $$v_n\neq 1$ .
2. $$v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+1} \iff v_n\left(u_{n} + 1 \right) = u_{n} - 1 \iff v_{n}u_{n} + v_{n} = u_{n} - 1 \iff v_{n}u_{n} - u_{n}+ = - 1 - v_{n} \iff u_{n}\left(v_{n} - 1\right) = - 1 - v_{n}$ et comme $$v_n \neq 1$ ,
  $$u_n=\dfrac{- 1 - v_{n}}{v_{n} - 1} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$ .
3. Comme $$- 1 < - \dfrac{1}{3} < 1$ , on sait que $$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(- \dfrac{1}{3} \right)^n = 0$ , soit $$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} v_n=0$ , donc d'après le résultat précédent $$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_{n} = \dfrac{1}{1} = 1$ .

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Exercice 10: Bac 2010, Centres étrangers - Suite et fonction

Centres étrangers, juin 2010
Soit

la fonction définie sur l'intervalle

par

.
Le but de cet exercice est d'étudier des suites

définies par un premier terme positif ou nul

et vérifiant pour tout entier naturel

Etude de propriétés de la fonction
1. Etudier le sens de variation de la fonction sur .
2. Résoudre dans l'intervalle l'équation . On note la solution.
3. Montrer que si appartient à l'intervalle , alors appartient à l'intervalle .
Etude de la suite pour
Dans cette question, on considère la suite définie par et pour tout entier naturel , .
1. Représenter graphiquement la courbe représentative de la fonction , et placer le points de coordonnées et construire les points , , et d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives , , et .
  Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite ?
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel : .
  Quel est alors le sens de variation de la suite ?

Correction exercice 10

Centres étrangers, juin 2010.

est la fonction définie sur

par

Etude de propriétés de la fonction
1. Pour tout , .
2. , en multipliant par (car ) et donc, .
  Cette équation du second degré a pour discriminant , et admet donc deux solutions réelles distinctes: et .
  Comme , l'équation admet donc sur une seule solution .
3. Comme est strictement croissante sur , on a .
  Or, et . Ainsi, .
  Ainsi, si , alors .
Etude de la suite pour
Dans cette question, on considère la suite définie par et pour tout entier naturel , .
1. On peut conjecturer que la suite est croissante, et qu'elle converge vers .
2. Initialisation: Pour , on a , et , et ainsi on a donc bien .
  Hérédité: Supposons que pour un entier on ait .
  Alors, comme la fonction est croissante sur , .
  Or, , , , et .
  On a donc ainsi, , ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang .
  Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel , .
  
  On déduit en particulier de la propriété précédente que la suite est croissante (et bornée par et ).

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Exercice 11: Bac 2010, Antilles-Guyane - Suite récurrente, somme des 1er termes

Antilles-Guyane, septembre 2010
On considère la suite de nombres réels

définie sur

par:

Calculer et en déduire que la suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.
On définit la suite en posant, pour tout entier naturel , .
1. Calculer .
2. Exprimer en fonction de .
3. En déduire que la suite est géométrique de raison .
4. Exprimer en fonction de .
On définit la suite en posant, pour tout entier naturel , .
1. Cacluler .
2. En utilisant l'égalité , exprimer en fonction de et de .
3. En déduire que pour tout de , .
4. Exprimer en fonction de .
Montrer que pour tout entier naturel : .
Pour tout entier naturel , on pose . Démontrer par récurrence que pour tout de : .

Correction exercice 11

Antilles-Guyane, septembre 2010

.
On a donc, et ce qui montre que n'est pas arithmétique.
De même, et ce qui montre que n'est pas non plus géométrique.
1. .
2. .
3. La suite est donc géométrique de raison .
4. On a alors, pour tout entier naturel , .
1. .
2. d'après 2.
3. On a ainsi,
4. est donc une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme , et on a donc, pour tout entier naturel , .
On a .
Initialisation: Pour , on a , donc la propriété est vraie.
Hérédité: Supposons que pour un entier naturel , on ait .
Alors, , d'après l'hypothèse de récurrence.
Ainsi, , ce qui montre que la formule est alors encore vraie au rang .
Conclusion: On vient donc de montrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel , .

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Exercice 12: Bac 2009, France métropolitaine - Suite récurrente

(Baccalauréat France métropolitaine, juin 2009, 4 points)

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel :
On pose, pour tout entier naturel , .
1. Pour tout nombre entier naturel , calculer en fonction de .
  
  Quelle est la nature de la suite ?
2. Démontrer que pour tout entier naturel :
3. Etudier la convergence de la suite .
On considère la suite dont les termes vérifient, pour tout nombre entier :

Le tableau suivant donne les premiers termes de cette suite:
1. Détailler le calcul permettant d'obtenir .
2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Donner la nature de la suite . Calculer .

Correction exercice 12

1. Pour tout nombre entier naturel , .
  
  On en déduit que est géométrique de raison et de premier terme .
2. D'après la question précédente, pour tout entier , , et donc que, pour tout entier n , .
3. Comme , , et donc, .
1. Pour , , d'où, .
2. D'après les valeurs de pour les premiers entiers, on peut conjecturer que .
  
  Démonstration de la conjecture: Démonstration par récurrence.
  Initialisation: La relation est vraie pour tous les entiers .
  Hérédité: Supposons que pour un certain entier , (hypothèse de récurrence), alors, d'après l'hypothèse de récurrence.
  On a donc, , soit donc .
  Ainsi, l'expression est encore vraie au rang .
  
  On a ainsi démontré d'après le principe de récurrence que, pour tout entier , .
  
  On en déduit que .

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Exercice 13: Bac 2008, La Réunion - Suite récurrente, somme des termes d'une suite arithmétique, récurrence

On considère la suite $$(u_n)_{n\in\N}$ définie par:

$u_0=5\,,\ \mbox{ et, pour tout entier } n\geq1\,,\ u_n=\lp1+\frac{2}{n}\right) u_{n-1}+\frac{6}{n}\ .$

1. Calculer .
2. Les valeurs de , , , , , , , , $$u_{10}$ , $$u_{11}$ sont respectivement égales à: , , , , , , , , , .
  A partir de ces données, conjecturer la nature de la suite $$(d_n)_{n\in\N}$ définie par $$d_n=u_{n+1}-u_n$ .
On considère la suite arithmétique $$(v_n)_{n\in\N}$ de raison et de premier terme .
Justifier que la somme des premiers termes de cette suite est égale à .
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a:
Valider la conjecture émise à la question 1.b).

Correction exercice 13

(Baccalauréat La Réunion, juin 2008, 5 points)

1. $$\displaystyle u_1=\lp1+\frac{2}{1}\right) u_0+\frac{6}{1}=3\tm5+6=21$ .
2. Les premiers termes de la suite sont: , , , , , . A partir de ces premiers termes, on peut conjecturer que est une suite artithmétique de raison et de premier terme .
La somme des premiers termes de la suite arithmétique est: $$\displaystyle v_0+v_1+v_2+\cdot+v_{n-1}=n\frac{v_0+v_{n-1}}{2} =n\frac{16+16+(n-1)8}{2}=n\left( 16+(n-1)4\right) =4n^2+12$ .
Initialisation: pour , $$u_0=5=4\tm0^2+12\tm0+5$ , donc la relation est vraie pour . Hérédité: Supposons que pour un certain entier , , alors,
$$\displaystyle u_{n+1}=\lp1+\frac{2}{n+1}\right) u_n+\frac{6}{n+1} =\lp1+\frac{2}{n+1}\right) \lp 4n^2+12n+5\right) +\frac{6}{n+1}$ , d'après l'hypothèse de récurrence, et donc,
$$\displaystyle u_{n+1}=\frac{(n+3)(4n^2+12n+5)+6}{n+1} =\frac{4n^3+24n^2+41n+21}{n+1}$

or, , d'où, $$u_{n+1}=4n^2+20n+21$ .
De plus, , et donc, $$u_{n+1}=4(n+1)^2+12(n+1)+5$ , ce qui montre que l'expression est encore vraie au rang .

Conclusion: On vient donc de montrer que, d'après le principe de récurrence, pour tout entier , .
Pour tout entier , $$d_n=u_{n+1}-u_n= \Big[4(n+1)^2+12(n+1)+5\Big]-\Big[4n^2+12n+5\Big]$ , soit $$d_n=\Big[4n^2+20n+21\Big]-\Big[4n^2+12n+5\Big] =8n+16$ , qui est bien l'expression d'une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme .