Exponentielle et logarithme: annales de bac et corrections

Exponentielle et logarithme - Annales de Bac

Annales de bac: sujets et corrigés d'exercices posés au baccalauréat en mathématiques sur les fonctions exponentielle et logarithme: dérivées, variations, limites, ...

Exercice 1: Bac 2022: Exponentielle et suite récurrente

Dans le cadre d'un essai clinique on envisage deux protocoles de traiterment de d'une maladie.
L'objectif de cet exercice est d'étudier, pour ces deux protocoles, l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient en fonction du temps.


Les parties A et B sont indépendantes


Partie A : Étude du premier protocole


Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 10] par
\[f(t) = 3t e^{-0,5t+1},\]

où $t$ désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.


    1. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0 ; 10] et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout nombre réel $t$ de [0 ; 10], on a: $f'(t) = 3(-0,5t + 1)e^{-0,5t+1}$.
    2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 10].
    3. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale?
    1. Montrer que l'équation $f(t) = 5$ admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; 2] notée $\alpha$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. On admet que l'équation $f(t) = 5$ admet une unique solution sur l'intervalle [2 ; 10], notée $\beta$, et qu'une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près est 3,46.
    2. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5 mg. Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.




Partie B : Étude du deuxième protocole


Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqüre intraveineuse, une dose de $2$ mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de $1,8$ mg.
On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite progressivement éliminé.
On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
On modélise cette situation à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la $n$-ième heure. On a donc $u_0 = 2$.


  1. Calculer, selon cette modélisation, la quantité $u_1$, de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la première heure.
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$.
    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n<u_{n+1} < 6$.
    2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
    3. Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
  4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 6 - u_n$.
    1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$ dont on précisera le premier terme.
    2. Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$n en fonction de $n$.
    3. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg. Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.

Correction exercice 1
Partie A : Étude du premier protocole
    1. On a $f=uv$ avec $u(t)=3t$ donc $u'(t)=3$ et $v(t)=e^{-0,5t+1}=e^{w(t)}$ avec $w(t)=-0,5t+1$ donc $w'(t)=-0,5$ et alors $v'(t)=w'(t)e^{w'(t)}=-0,5e^{-0,5t+1}$.
      On obtient alors $f'=u'v+uv'$, soit
      \[\begin{array}{ll}f'(t)&=3e^{-0,5t+1}+3t\tm\lp-0,5e^{-0,5t+1}\rp\\[.4em] &=3e^{-0,5t+1}\lp1-0,5t\rp\\[.4em] &=3(-0,5t + 1)e^{-0,5t+1}\enar\]


    2. On a alors le signe de lé dérivée et le sens de variation:
      \[\begin{tabular}{|c|*5c|}\hline $t$ & 0 && 2 && 10 \\\hline $-0,5t+1$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline $e^{-0,5t+1}$ && $+$ &\vline & $+$ & \\\hline $f'(t)$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}\]


    3. Selon cette modélisation, la quantité maximale de médicament présente dans le sang du patient sera de $f(2)=3\tm2e^0=6$ mg, au bout de 2 heures.
    1. Sur [0;2], la fonction $f$ est continue (car même dérivable), strictement croissante, avec $f(0)=0<5$ et $f(2)=6>5$, et ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), on sait donc qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $f(t) = 5$.
      Avec la calculatrice, par balayage par exemple, on touve $1,02<\alpha<1,03$ soit, $\alpha\simeq1,02$.
    2. On peut compléter le tableau de variation:
      \[\begin{tabular}{|c|*9c|}\hline $t$ & 0 &&$\alpha$ && 2 &&$\beta$&& 10 \\\hline &&&&&&&&&\\ $f$&&\psline[arrowsize=8pt]{->}(-.5,-.5)(1.3,.5)&5&&& \psline[arrowsize=8pt]{->}(-.2,.5)(1.4,-.5)&5&&\\ &&&&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]

      grâce auquel on trouve que la durée d'efficacité du médicament est donc de $\beta-\alpha\simeq3,46-1,02=2,44$ soit 2,44 heures, ou encore 2 heures et 26 minutes.




Partie B : Étude du deuxième protocole
  1. Selon cette modélisation, à la première heure la quantité dans le sang a diminué de 30%, il en reste donc $0,7\tm2=1,4\,\text{mg}$. On réinjecte de plus une nouvelle dose de 1,8 mg, et on trouve donc que
    \[u_1=0,7\tm2+1,8=3,2\]


  2. De même que précédemment, à la (n+1)-ème heure, la quantité dans le sang présente l'heure précédente, soit $u_n$ a diminué de 30%, soit $0,7u_n$, et on réinjecte, donc ajoute, 1,8 mg.
    On obtient donc bien la relation $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$.
    1. Soit la proposition $\mathcal{P}_n: u_n <u_{n+1} < 6$.

      Initialisation: on a $u_0=2$ et $u_1=3,2$ d'où $\mathcal{P}_1$ est vraie: $u_0<u_1<6$.

      Hérédité: Supposons que pour un certain entier $n$, $\mathcal{P}_n$ soit vraie, c'est-à-dire $u_n <u_{n+1} < 6$.
      Alors, en multipliant par $0,7>0$, on obtient $0,7u_n<0,7u_{n+1}<0,7\tm6=4,2$,
      puis en ajoutant 1,8 on aboutit à $0,7u_n+1,8<0,7u_{n+1}+1,8<4,2+1,8$,
      c'est-à-dire exactement $u_{n+1}<u_{n+1}<6$ et qui montre donc $\mathcal{P}_{n+1}$ est alors vraie.

      Conclusion: on vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n$, $\mathcal{P}_n$ est vraie, c'est-à-dire $u_n <u_{n+1} < 6$.
    2. On déduit du résultat précédent que la suite $\left( u_n\rp$ est croissante et aussi qu'elle est majorée par 6.
      On en déduit donc (théorème de convergence monotone) qu'elle converge vers une limite $l$.
    3. On a $u_{n+1}=0,7u_n+1,8$ et on sait que $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=l$.
      Ainsi, on doit nécessairement avoir (théorème du point fixe), que
      \[l=0,7l+1,8\iff l=\dfrac{1,8}{0,3}=6\]

    1. Pour tout entier $n$, on a
      \[\begin{array}{ll}v_{n+1}&=6-u_{n+1}\\ &=6-\lp0,7u_n+1,8\rp\\ &=4,2-0,7u_n\\ &=0,7\lp6-u_n\right) =0,7v_n\enar\]

      ce qui montre que la suite $\left( v_n\rp$ est bien géométrique de raison $0,7$ et de premier terme $v_0=6-u_0=4$.
    2. On en déduit alors que, pour tout entier $n$,
      \[v_n=v_0\times q^n=4\times0,7^n\]

      puis, comme $v_n=6-u_n\iff u_n=6-v_n$, que
      \[u_n=6-4\tm0,7^n\]


    3. On arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg, soit lorsque
      \[\begin{array}{ll}&u_n\geqslant5,5\\ \iff&6-4\tm0,7^n\geqslant5,5\\ \iff&-4\tm0,7^n\geqslant-0,5\enar\]

      soit, en divisant par $-4<0$, puis en prenant le logarithme népérien qui est strictement croissant,
      \[\begin{array}{ll}&u_n\geqslant5,5\\ \iff&0,7^n\leqslant\dfrac{-0,5}{-4}=0,125\\ \iff&\ln\lp0,7^n\rp=n\ln(0,7)\leqslant\ln(0,125)\enar\]

      Enfin, en divisant par $\ln(0,7)<0$, on obtient finalement
      \[\begin{array}{ll}&u_n\geqslant5,5\\ \iff n\geqslant\dfrac{\ln(0,125)}{\ln(0,7)}\simeq5,8\enar\]

      Comme on réalise une injection par heure, il faut donc en réaliser 6.



Cacher la correction

Exercice 2: Bac 2022: Trajectoire d'une balle de golf

Partie A : études de deux fonctions

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:

\[f(x) = 0,06\left(-x^2 +13,7x\right)\quad \text{et}\quad g(x) = (-0,15x + 2,2)e^{0,2x} - 2,2.\]


On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables et on note $f'$ et $g'$ leurs fonctions dérivées respectives.


  1. On donne le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(6.5,2) \psframe(6.5,2)\psline(0,1.5)(6.5,1.5)\psline(1.5,0)(1.5,2) \uput[u](0.75,1.4){$x$} \uput[u](1.6,1.4){$0$} \uput[u](4,1.4){$6,85$} \uput[u](6,1.4){$+ \infty$} \rput(0.75,0.75){$f(x)$}\uput[u](1.65,0){$0$}\uput[d](4,1.5){$f(6,85)$}\uput[u](6,0){$- \infty$} \psline{->}(1.9,0.4)(3.2,1.1)\psline{->}(4.8,1.1)(5.7,0.4) \end{pspicture}\]


    1. Justifier la limite de $f$ en $+\infty$.
    2. Justifier les variations de la fonction $f$.
    3. Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
    1. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
    2. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$ on a : $g'(x) = (- 0,03x + 0,29)e^{0,2x}$.
    3. Étudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
      Préciser une valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de $g$.
    4. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution non nulle et déterminer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de cette solution.




Partie B : trajectoires d'une balle de golf


Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club»  de golf.
On souhaite exploiter les fonctions $f$ et $g$ étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que $13,7$ est la valeur qui annule la fonction $f$ et une approximation de la valeur qui annule la fonction $g$.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de $f$ et $g$ sur l'intervalle [0 ; 13,7].

$$(-1,-1)(14,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-1)(14,3.5) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.7}{13.7 x mul x dup mul sub 0.06 mul}\uput[ul](3,2){\red $\mathcal{C}_f$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.7}{2.2 0.15 x mul sub 2.71828 0.2 x mul exp mul 2.2 sub}\uput[ur](12,2.2){\blue $\mathcal{C}_g$} \uput[dl](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[d](13.7,0){13,7} $$


Pour $x$ représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec $0 < x < 13,7$), $f(x)$ (ou $g(x)$ selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ $0,914$ mètre).
On appelle « angle de décollage »  de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $0$. Une mesure de l'angle de décollage de la balle est un nombre réel $d$ tel que $\tan (d)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d'atterrissage »  de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $13,7$. Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel $a$ tel que $\tan (a)$ est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.

\[\begin{tabular}{|*2{p{8cm}|}}\hline Le sch\'ema illustre les angles de d\'ecollage et d'atterrissage associ\'es \`a la courbe $\mathcal{C}_f$&Le sch\'ema illustre les angles de d\'ecollage et d'atterrissage associ\'es \`a la courbe $\mathcal{C}_g$.\\ \hline \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.3,-0.75)(14,3.5) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10](0,0)(-0.3,-0.3)(14,3) \psplot[plotpoints=1000]{0}{2}{0.822 x mul} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.7}{13.7 x mul x dup mul sub 0.06 mul}\uput[ul](3,2){\red $\mathcal{C}_f$} \psline(13.7,0)(11,2) \psarc(0,0){0.7}{0}{40}\rput(1.2,0.5){\footnotesize $d$} \psarc(13.7,0){0.7}{140}{180}\rput(12.4,0.5){\footnotesize $a$} \uput[d](13.7,0){\footnotesize 13,7} \end{pspicture}&\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.3,-0.75)(14,3.5) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10](0,0)(-0.3,-0.5)(14,3) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.7}{2.2 0.15 x mul sub 2.71828 0.2 x mul exp mul 2.2 sub} \psline(0,0)(10.4,2.8) \psline(13.7,0)(12,2.9) \psarc(0,0){1}{0}{20}\rput(2,0.25){\footnotesize $d$} \psarc(13.7,0){1}{120}{180}\rput(12.4,0.5){\footnotesize $a$} \uput[d](13.7,0){\footnotesize 13,7} \end{pspicture}\\ \hline \end{tabular}\]




  1. Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $f(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
    Selon ce modèle :
    1. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
    2. Vérifier que $f'(0) = 0,822$.
    3. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
    4. Quelle propriété graphique de la courbe $\mathcal{C}_f$ permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux ?
  2. Seconde modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $g(x)$ la hauteur correspondante de la balle. Selon ce modèle :
    1. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ? On précise que $g'(0) = 0,29$ et $g'(13,7) \approx -1,87$.
    2. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
    3. Justifier que $62$ est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.


    Tableau : extrait d'une feuille de calcul donnant une mesure en degré d'un angle quand on connait sa tangente :

    \[%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \begin{tabular}{|c|p{2em}|*{12}{c|}} \hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 1&$\!\!\tan(\theta)$&0,815&0,816&0,817&0,818&0,819&0,82&0,821&0,822&0,823&0,824&0,825&0,826\\ \hline 2&\scriptsize \mbox{$\theta$ en} degr\'es&39,18&39,21&39,25&39,28&39,32&39,35&39,39&39,42&39,45&39,49&39,52&39,56\\ \hline 3& &&&&&&&&&&&&\\ \hline 4&$\!\!\tan(\theta)$&0,285& 0,286& 0,287& 0,288& 0,289&0,29&0,291&0,292& 0,293&0,294&0,295 &0,296\\ \hline 5&\scriptsize \mbox{$\theta$ en} degr\'es&15,91 &15,96&16,01& 16,07& 16,12& 16,17& 16,23& 16,28& 16,33& 16,38& 16,44& 16,49\\ \hline \end{tabular}\]





Partie C : interrogation des modèles

À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:

\[\begin{tabular}{|*4{p{4.2cm}|}}\hline Angle de d\'ecollage en degr\'e &Hauteur maximale en yard &Angle d'atterrissage en degr\'e &Distance horizontale en yard au point de chute\\ \hline 24&32&52&137\\ \hline \end{tabular}\]


Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée. Partie A : études de deux fonctions

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:

\[f(x) = 0,06\left(-x^2 +13,7x\right)\quad \text{et}\quad g(x) = (-0,15x + 2,2)e^{0,2x} - 2,2.\]


On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables et on note $f'$ et $g'$ leurs fonctions dérivées respectives.


  1. On donne le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(6.5,2) \psframe(6.5,2)\psline(0,1.5)(6.5,1.5)\psline(1.5,0)(1.5,2) \uput[u](0.75,1.4){$x$} \uput[u](1.6,1.4){$0$} \uput[u](4,1.4){$6,85$} \uput[u](6,1.4){$+ \infty$} \rput(0.75,0.75){$f(x)$}\uput[u](1.65,0){$0$}\uput[d](4,1.5){$f(6,85)$}\uput[u](6,0){$- \infty$} \psline{->}(1.9,0.4)(3.2,1.1)\psline{->}(4.8,1.1)(5.7,0.4) \end{pspicture}\]


    1. Justifier la limite de $f$ en $+\infty$.
    2. Justifier les variations de la fonction $f$.
    3. Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
    1. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
    2. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$ on a : $g'(x) = (- 0,03x + 0,29)e^{0,2x}$.
    3. Étudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
      Préciser une valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de $g$.
    4. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution non nulle et déterminer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de cette solution.




Partie B : trajectoires d'une balle de golf


Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club»  de golf.
On souhaite exploiter les fonctions $f$ et $g$ étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que $13,7$ est la valeur qui annule la fonction $f$ et une approximation de la valeur qui annule la fonction $g$.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de $f$ et $g$ sur l'intervalle [0 ; 13,7].

$$(-1,-1)(14,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-1)(14,3.5) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.7}{13.7 x mul x dup mul sub 0.06 mul}\uput[ul](3,2){\red $\mathcal{C}_f$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.7}{2.2 0.15 x mul sub 2.71828 0.2 x mul exp mul 2.2 sub}\uput[ur](12,2.2){\blue $\mathcal{C}_g$} \uput[dl](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[d](13.7,0){13,7} $$


Pour $x$ représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec $0 < x < 13,7$), $f(x)$ (ou $g(x)$ selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ $0,914$ mètre).
On appelle « angle de décollage »  de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $0$. Une mesure de l'angle de décollage de la balle est un nombre réel $d$ tel que $\tan (d)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d'atterrissage »  de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $13,7$. Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel $a$ tel que $\tan (a)$ est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.

\[\begin{tabular}{|*2{p{8cm}|}}\hline Le sch\'ema illustre les angles de d\'ecollage et d'atterrissage associ\'es \`a la courbe $\mathcal{C}_f$&Le sch\'ema illustre les angles de d\'ecollage et d'atterrissage associ\'es \`a la courbe $\mathcal{C}_g$.\\ \hline \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.3,-0.75)(14,3.5) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10](0,0)(-0.3,-0.3)(14,3) \psplot[plotpoints=1000]{0}{2}{0.822 x mul} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.7}{13.7 x mul x dup mul sub 0.06 mul}\uput[ul](3,2){\red $\mathcal{C}_f$} \psline(13.7,0)(11,2) \psarc(0,0){0.7}{0}{40}\rput(1.2,0.5){\footnotesize $d$} \psarc(13.7,0){0.7}{140}{180}\rput(12.4,0.5){\footnotesize $a$} \uput[d](13.7,0){\footnotesize 13,7} \end{pspicture}&\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.3,-0.75)(14,3.5) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10](0,0)(-0.3,-0.5)(14,3) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.7}{2.2 0.15 x mul sub 2.71828 0.2 x mul exp mul 2.2 sub} \psline(0,0)(10.4,2.8) \psline(13.7,0)(12,2.9) \psarc(0,0){1}{0}{20}\rput(2,0.25){\footnotesize $d$} \psarc(13.7,0){1}{120}{180}\rput(12.4,0.5){\footnotesize $a$} \uput[d](13.7,0){\footnotesize 13,7} \end{pspicture}\\ \hline \end{tabular}\]




  1. Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $f(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
    Selon ce modèle :
    1. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
    2. Vérifier que $f'(0) = 0,822$.
    3. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
    4. Quelle propriété graphique de la courbe $\mathcal{C}_f$ permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux ?
  2. Seconde modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $g(x)$ la hauteur correspondante de la balle. Selon ce modèle :
    1. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ? On précise que $g'(0) = 0,29$ et $g'(13,7) \approx -1,87$.
    2. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
    3. Justifier que $62$ est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.


    Tableau : extrait d'une feuille de calcul donnant une mesure en degré d'un angle quand on connait sa tangente :

    \[%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \begin{tabular}{|c|p{2em}|*{12}{c|}} \hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 1&$\!\!\tan(\theta)$&0,815&0,816&0,817&0,818&0,819&0,82&0,821&0,822&0,823&0,824&0,825&0,826\\ \hline 2&\scriptsize \mbox{$\theta$ en} degr\'es&39,18&39,21&39,25&39,28&39,32&39,35&39,39&39,42&39,45&39,49&39,52&39,56\\ \hline 3& &&&&&&&&&&&&\\ \hline 4&$\!\!\tan(\theta)$&0,285& 0,286& 0,287& 0,288& 0,289&0,29&0,291&0,292& 0,293&0,294&0,295 &0,296\\ \hline 5&\scriptsize \mbox{$\theta$ en} degr\'es&15,91 &15,96&16,01& 16,07& 16,12& 16,17& 16,23& 16,28& 16,33& 16,38& 16,44& 16,49\\ \hline \end{tabular}\]





Partie C : interrogation des modèles

À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:

\[\begin{tabular}{|*4{p{4.2cm}|}}\hline Angle de d\'ecollage en degr\'e &Hauteur maximale en yard &Angle d'atterrissage en degr\'e &Distance horizontale en yard au point de chute\\ \hline 24&32&52&137\\ \hline \end{tabular}\]


Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.
Correction exercice 2

Partie A : études de deux fonctions

    1. On a, pour tout $x>0$,
      \[f(x)=-0,06x^2\lp1-\dfrac{13,7}x\rp\]

      avec
      \[\lim_{x\to+\infty}-0,06x^2=-\infty\]

      et
      \[\lim_{x\to+\infty}\lp1-\dfrac{13,7}x\rp=1\]

      d'où, par produit, la limite
      \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\]

    2. On a $f'(x)=0,06(-2x+13,7)$ d'où le tableau de signes et de variations
      \[\begin{tabular}{|c|*5c|}\hline $x$ & 0 && 6,85 && $+\infty$ \\\hline $-2x+13,7$&& $+$ &\zb&$-$&\\\hline $f'(x)$&& $+$ &\zb&$-$&\\\hline &&&$f(6,85)$&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}\]


    3. On a
      \[\begin{array}{ll}f(x) = 0&\iff -x^2+13,7x=0\\ &\iff x(-x+13,7)=0\\ &\iff x=0 \text{ ou } x=13,7\enar\]

    1. On a
      \[\lim_{x\to+\infty}(-0,15x+2,2)=-\infty\]

      et
      \[\lim_{x\to+\infty}e^{0,2x}=+\infty\]

      et donc, par produit,
      \[\lim_{x\to+\infty}(-0,15x+2,2)e^{0,2x}=-\infty\]

      et donc aussi,
      \[\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\]


    2. On a $g=u\,v$ avec $u(x)=-0,15x+2,2$ et $u'(x)=-0,15$ et $v(x)=e^{0,2x}=e^{w(x)}$ donc $v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=0,2e^{0,2x}$.
      On obtient donc $g'=u'v+uv'$, soit pour tout $x>0$,
      \[\begin{array}{ll}g'(x)&=-0,15e^{0,2x}+(-0,15x+2,2)\tm0,2e^{0,2x}\\ &=\Bigl(-0,15+0,2(-0,15x+2,2)\Bigr)e^{0,2x}\\ &=\lp-0,03x+0,29\right) e^{0,2x} \enar\]


    3. On obtient alors le tableau de signes et de variations:
      \[\begin{tabular}{|c|*5c|}\hline $x$ & 0 && $29/3$ && $+\infty$ \\\hline $-0,03x+0,29$&& $+$ &\zb&$-$&\\\hline $e^{0,2x}$&& $+$ &\vline&$+$&\\\hline $g'(x)$&& $+$ &\zb&$-$&\\\hline &&&$g\lp29/3\rp$&&\\ $g$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &0&&&&$-\infty$\\\hline \end{tabular}\]


      On trouve comme valeur maximale
      \[g\lp\dfrac{29}3\rp\simeq2,98\]

    4. on a pour tout $x\in]0;29/3]$, $g(x)>0$ et donc l'équation $g(x)=0$ n'admet aucune soltuion.
      Sur $[29/3;+\infty[$, la fonction $g$ est continue (car même dérivable), strictement décroissante avec $g\lp29/3\rp>0$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)<0$.
      Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, ou théorème de la bijection, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $[29/3;+\infty[$.
      Finalement, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$, c'est-à-dire une unique solution non nulle.
      Avec la calculatrice, par balayage ou dichotomie par exemple, on trouve comme valeur approchée de cette solution $13,72$.


Partie B : trajectoires d'une balle de golf
  1. Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $f(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
    Selon ce modèle :
    1. On a vu que le maximum de $f$ est $f(6,85)\simeq2,815$ soit une hauteur maximale de 28,15 yards.
    2. On a $f'(x)=0,06(-2x+13,7)$, d'où $f'(0)=0,06\tm13,7=0,822$.
    3. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ en 0, c'est-à-dire justement au décollage.
      On a donc $f'(0)=\tan(\theta)$ et donc, d'après le tableau donné dans l'énoncé, $\theta\simeq39,42\,\text{degr\'e}$.
    4. La courbe est une parabole. En particulier, elle est symétrique par rapport à la droite $x=6,85$, abscisse de son sommet. Les points de décollage $x=0$ et d'atterissage $x=13,7$ sont symétriques eux aussi par rapport à cette droite, et il en est donc de même des angles que forment les tangentes à la courbes en ces deux points, c'est-à-dire que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux.
  2. Seconde modélisation
    1. D'après ce modèle, la hauteur maximale est
      \[g\lp\dfrac{29}3\rp\simeq2,98\]

      soit 29,8 yard. On précise que et $g'(13,7) \approx -1,87$.
    2. $g'(0) = 0,29=\tan(d)$ soit, d'après le tableau foruni, $d\simeq16,17\,\text{degr\'e}$.
    3. De même pour l'angle d'atterissage, $g'(13,17)\simeq-1,87=\tan(\alpha)$ soit $\alpha\simeq\arctan(-1,87)\simeq-61,8$ soit, arrondie à l'unité près, environ 62 degrés.

Partie C : interrogation des modèles

Les angles de décollage et d'atterissage sont très clairement différents, et le modèle parabolique de la fonction $f$ n'est donc clairement pas adapté.
La hauteur maximale est aussi mieux approchée par le second modèle.

Parmi les deux modèles étudiés, le modèle fourni par la fonction $g$ semble donc le plus adapté.




Cacher la correction

Exercice 3: Bac 2021, sujet 0 - Logarithme et convexité

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :
  • la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ ;
  • la tangente $\mathcal{T}_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A de coordonnées $\left(\dfrac{1}{e}~;~e\right)$ ;
  • la tangente $\mathcal{T}_B$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B de coordonnées (1 ; 2).
La droite $\mathcal{T}_A$ est parallèle à l’axe des abscisses. La droite $\mathcal{T}_B$ coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (3 ; 0) et l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 3).


$$(-0.4,-0.7)(8,3.7) \multido{\n=-0.0+0.5}{16}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-0.5)(\n,3.5)} %\multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)} \multido{\n=-0.5+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(7.50,\n) } \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,-0.5)(7.6,3.6) \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,-0.5)(7.6,3.6) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0.127}{7.50}{x ln 2 add x div} \psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{-0.1}{7.50}{2.71828} \psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{-0.1}{3.50}{x neg 3 add} \psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.1](0.367879,2.71828)(1,2) \uput[ur](0.468,2.81828){A}\uput[ur](1.1,2.1){B} \uput[u](6.5,2.5){\cyan $\mathcal{T}_A$} \uput[r](2.2,0.5){\cyan $\mathcal{T}_B$} \uput[r](5,0.5) {\blue $\mathcal{C}_f$} $$





On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.


Partie I
  1. Déterminer graphiquement les valeurs de $f'\lp\dfrac1e\rp$ et de $f'(1)$.
  2. En déduire une équation de la droite $\mathcal{T}_B$.

Partie II
On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
\[f(x) =\dfrac{2+\ln(x)}{x}.\]


  1. Par le calcul, montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points A et B et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera.
  2. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs supérieures, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
  3. Montrer que, pour tout $x\in]0~;~\infty[$,

    \[f'(x)=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2} .\]


  4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
  5. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$ On admet que, pour tout $x\in]0~;~+\infty[$

    \[f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3} .\]


    Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.

Correction exercice 3

Partie I
  1. $f'\lp\dfrac1e\rp=0$ car c'est le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}_A$, qui est horizontale.

    De même, $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}_B$, qui passe par le point $B(1;2)$ et le point de l'axe des abscisses de coordonnées $(0;3)$.
    Ce coefficient directeur est donc $f'(1)=\dfrac{3-0}{0-3}=-1$.
  2. La droite $\mathcal{T}_B$ a pour coefficient directeur $-1$ et 3 pour ordonnée à l'origine, donc elle a pour équation: $y=-x+3$.



Partie II
$f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}$, pour $x>0$

    • \[f\lp\dfrac1e\right) = \dfrac{2+\ln\lp\frac1e\right)}{\frac1e} = e\left( 2 - \ln(e)\right) = e( 2 - 1)=e\]

      donc $A\in\mathcal{C}_f$.

    • $f(1)=\dfrac{2+\ln(1)}{1}=2$ donc $B\in\mathcal{C}_f$.
    • La courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en un point dont l'abscisse est solution de l'équation $f(x)=0$, soit,
      \[\begin{array}{ll}f(x)=0 &\iff \dfrac{2+\ln(x)}{x} = 0\\ &\iff 2+\ln(x)=0\\ &\iff \ln(x)=-2\\ &\iff x = e^{-2} \enar\]


      Donc la courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en un point unique de coordonnées $\left ( e^{-2}~;~0\right )$.

  2. On a $\dsp\lim_{x\to0} \lp2+\ln(x)\rp=-\infty$ et $\dsp\lim_{x\to0}x=0$, avec $x>0$, d'où, par quotient des limites, $\dsp\lim_{x\to0}f(x)=-\infty$.

    On a $f(x)=\dfrac2x+\dfrac{\ln(x)}{x}$, avec $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac2x=0$ et, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$
    d'où, $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
  3. Pour $x>0$, en dérivant le quotient $f=\dfrac{u}v$, on a
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{\frac1x\times x - (2+\ln(x)) \times1}{x^2} \\[.8em] &= \dfrac{1-2-\ln(x)}{x^2} = \dfrac{-1-\ln(x)}{x^2} \enar\]


  4. On a $-1-\ln(x) >0 \iff -1 > \ln(x) \iff x < e^{-1}$
    On dresse le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$:

    \[\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% param\`etres \def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur \begin{array}{|c|l *4{c}|} \hline x & 0 & \esp & e^{-1} & \esp & +\infty \\ \hline -1-\ln(x)&\vline\;\vline & + & \vline\hspace{-2.7pt}0 & - & \\ \hline x^2 &0 && + & & \\\hline f'(x) &\vline\;\vline & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & \vline\;\vline & & \Rnode{max}{e} & & \\ f(x) &\vline\;\vline & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \vline\;\vline \Rnode{min1}{~-\infty} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline\end{array}\]


  5. La fonction $f$ est convexe lorsque $f''$ est positive, soit
    \[\begin{array}{ll}f''(x)\geqslant 0 &\iff \dfrac{1+2\ln(x)}{x^3} \geqslant 0\\[.8em] &\iff 1+2\ln(x) \geqslant 0\\[.6em] &\iff \ln(x) \geqslant -\dfrac12\\ &\iff x\geqslant e^{-\frac{1}{2}} \enar\]

    Donc le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe est $\left [e^{-\frac{1}{2}}~;~+\infty \right [$.



Cacher la correction

Exercice 4: Bac 2021 - Exponentielle et logarithme

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
\[f(x) = \dfrac{e^x}x\]


On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.


    1. Préciser la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
    2. Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.
  2. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, on a :
    \[f'(x)=\dfrac{e^x(x - 1)}{x^2}\]

    où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
  3. Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
    On établira un tableau de variations de la fonction $f$ dans lequel apparaîtront les limites.
  4. Soit $m$ un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$.
  5. On note $\Delta$ la droite d'équation $y = -x$.
    On note A un éventuel point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ en lequel la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
    1. Montrer que $a$ est solution de l'équation $e^x(x-1) + x^2 = 0$.


      On note $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x)=e^x(x-1) + x^2 $.
      On admet que la fonction $g$ est dérivable et on note $g'$ sa fonction dérivée.
    2. Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
    3. Montrer qu'il existe un unique point $A$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.

Correction exercice 4
(Bac 15 mars 2021 - sujet 1)
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
    1. D'après le théorème de croissances comparées, on a $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
    2. On cherche la limite de $f$ en 0. On a $\dsp\lim_{x\to 0} e^{x} = 1$ d'où, par quotient de limites, $\dsp\lim_{x\to 0 \atop x>0} \dfrac{e^x}x=+\infty$, ce qui montre que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$.
  2. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, on a, en dérivant le quotient $f=\dfrac{u}v$,
    \[f'(x)=\dfrac{e^{x}\times x - e^x\times1}{x^2} = \dfrac{e^x(x-1)}{x^2}\]


  3. On cherche le signe de $f'(x)$, pour obtenir les variations de $f$,
    \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{|c | *{6}{c} |} \hline x && 0 & \hspace*{2cm} & 1 & \hspace*{2cm} & +\infty \\ \hline x-1 && & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + & \\ \hline e^{x} && & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \\ \hline x^2 & 0& \hfill{} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \\ \hline f'(x) & \vline\;\vline& & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} &+& \\ \hline & \vline\;\vline\;& +\infty & & & & +\infty \\ f(x) & \vline\;\vline\;& & \psline[arrowsize=8pt]{->}(-1,.6)(1,-.6)& & \psline[arrowsize=8pt]{->}(-1,-.6)(1,.6) & \\ & \vline\;\vline\;& & & e & & \\ \hline \end{array}\]

    avec $f(1)=\dfrac{e^{1}}{1}=e$
  4. D'après le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ étant continue sur $\R$ et strictement décroissante sur $]0;1[$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$, on a
    • si $m<e$, l'équation $f(x)=m$ n'admet pas de solution;
    • si $m=e$, l'équation $f(x)=m$ admet une solution unique $x=1$;
    • si $m>e$, l'équation $f(x)=m$ admet deux solutions.

    1. La tangente en $a$ est parallèle à la droite $\Delta$ si et seulement si le coefficient directeur de la tangente est égal à $-1$, autrement dit quand $f'(a)=-1$, et donc
      \[\begin{array}{ll}f'(a)=-1 &\iff \dfrac{e^a(a-1)}{a^2}=-1\\ &\iff e^a(x-1) = -a^2\\ &\iff e^{a}(x-1)+a^2=0 \enar\]


      ce qui veut dire que le nombre $a$ est solution de l'équation $e^x(x - 1) + x^2 = 0$.
    2. $g'(x)= e^x\times (x-1) + e^x\times 1 + 2x = xe^x+2x$
      Sur $[0~;~+\infty[$ on a $x\geq0$ et $2x\geq0$ ainsi que $e^x>0$ d'où $g'(x)=xe^{x}+2x \geqslant 0$.
      On dresse alors le tableau de variations

      \[ {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{array}{|c| *3{c}|} \hline x & 0 & \hspace*{2cm} & +\infty \\ \hline g'(x) & 0 &+& \\ \hline & & &\\ g(x) & & \psline[arrowsize=8pt]{->}(-1,-.6)(1,.6) & \\ & -1 & & \\ \hline \end{array} } \]


    3. On a, comme $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et par produit et somme de limite, $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$.
      Ainsi, comme $g$ est continue sur $[0;+\infty[$, strictement croissante, et que $g(0)=-1<0$ et avec la limite précédente, on a, d'après le téorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires), qu'il existe une unique solution $a$ à l'équation $g(x)=0$, et donc il existe un unique point A en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.



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Exercice 5: Bac 2021 - Logarithme, limites et convexité

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
\[f(x) = x + 4 - 4 \ln (x) - \dfrac3x\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.


  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
    Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a :
    \[f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2}.\]


    1. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. On admettra que $\dsp\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
    2. Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \dfrac53$.
  4. Étudier la convexité de la fonction $f$ c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave.
    On justifiera que la courbe $\mathcal C$ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.

Correction exercice 5
  1. En $+\infty$, $f(x) = x\left ( 1- 4\dfrac{\ln(x)}{x}\right ) + 4 - \dfrac{3}{x}$
    avec par croissances comparées $\dsp\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ donc $\dsp\lim_{x\to +\infty} x\lp1-4\dfrac{\ln(x)}{x}\right) + 4 = +\infty$
    et donc $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$
  2. $f'(x)= 1 + 0 - \dfrac{4}{x} +\dfrac{3}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4x +3}{x^2}$
    1. Le trinôme du second degré au numérateur $x^2-4x+3$ a pour discriminant $\Delta=4>0$ et admet donc deux racines distinctes $x=1$ et $x=3$ et alors
      \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{|c | l *{6}{c} |} \hline x & 0 & \hspace*{2cm} & 1 & \hspace*{2cm} & 3 & \hspace*{2cm} & +\infty \\ \hline x^2-4x+3 & &+& \vline\hspace{-2.7pt}{0} &- & \vline\hspace{-2.7pt}{0} &- &\\ \hline x^2 & 0 &+ & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} &+ & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} &+ &\\ \hline f'(x) & \vline\;\vline &+& \vline\hspace{-2.7pt}{0} &- & \vline\hspace{-2.7pt}{0} &+ & \\ \hline & \vline\;\vline\; & & \Rnode{max1}{2} & & & & \Rnode{max2}{+\infty} \\ f (x) &\vline\;\vline\; & & & & & &\\ &\vline\;\vline\; \Rnode{min1}{-\infty} & & & & \Rnode{min2}{6-4\ln(3)\approx 1,61} & & \ncline{->}{min1}{max1} \ncline{->}{max1}{min2} \ncline{->}{min2}{max2} \\ \hline \end{array}\]

      avec les valeurs particulières $f(1)=1+4-4\ln(1)-\dfrac{3}{1}=2$; $f(3) = 3+4-4\ln(3) - \dfrac{3}{3}=6-4\ln(3)\approx 1,69$
    2. D'après le tableau de variations, l'équation $f(x) = \dfrac{5}{3}$ admet une solution dans $]0;1[$, une dans $]1;3[$ et enfin une dans $]3;+\infty[$ car $\dfrac53>f(3)\simeq1,61$
      Cette équation admet donc trois solutions dans $]0~;~+\infty[$.

  4. La convexité de $f$ est donnée par le signe de la dérivée seconde:
    \[f'(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}\]

    donc
    \[\begin{array}{ll}f''(x) &= \dfrac{(2x-4)\times x^2 - (x^2-4x+3)\times2x}{x^4}\\ &= \dfrac{(2x^2 -4x -2x^2 +8x -6)\times x}{x^4}\\ &=\dfrac{4x-6}{x^3}\enar\]



    \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{|c | l *{4}{c} |} \hline x & 0 & \hspace*{2cm} & \frac{3}{2} & \hspace*{2cm} & +\infty \\ \hline 4x-6 & & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + & \\ \hline x^3 &0 & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \\ \hline f''(x) &\vline\;\vline & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + & \\ \hline &\vline\;\vline & f \text{ concave} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom0} & f \text{ convexe} & \\ \hline \end{array}\]


    La dérivée seconde s'annule et change de signe pour $x=\dfrac{3}{2}$ donc la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion d'abscisse $\dfrac{3}{2}$.
    $f\left (\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{3}{2} +4 -4\ln\left (\dfrac{3}{2}\right ) -\dfrac{3}{\frac{3}{2}} = \dfrac{11}{2} -4\ln\left (\dfrac{3}{2}\right ) -2 = \dfrac{7}{2} -4\ln\left (\dfrac{3}{2}\right ) $
    La courbe $\mathcal{C}$ admet donc un unique point d'inflexion de coordonnées $\lp\dfrac32~;~\dfrac72 -4\ln\lp\dfrac32\rp\rp$.



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Exercice 6: Bac 2023 - Logarithme, variation, limites et TVI

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par
\[f(x) = x^2 - 8\ln (x)\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée.


  1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.
  2. On admet que, pour tout $x > 0$,  $f(x) = x^2\left(1 - 8\dfrac{\ln (x)}{x^2}\right)$.
    En déduire la limite: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
  3. Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x}$.
  4. Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations complet.
    On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
  5. Démontrer que, sur l'intervalle ]0 ; 2], l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).
  6. On admet que, sur l'intervalle $[2~;~ +\infty[$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\beta$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\beta$).
    En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
  7. Pour tout nombre réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par:
    \[g_k(x) = x^2 - 8\ln (x) + k.\]


    En s'aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

Correction exercice 6
(Bac spécialité maths, 20 mars 2023) $f(x) = x^2 - 8\ln (x)$ pour $x\in]0~;~+\infty[$

  1. $\dsp\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ et $\dsp\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ d'où, par soustraction des limites, $\dsp\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$.
  2. $\dsp\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln (x)}{x^2}=0$, d'où par produit des limites, $\dsp\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
  3. On a, pour tout réel $x>0$,
    \[f'(x) = 2x-8\tm\dfrac1x=\dfrac{2x^2-8}x=\dfrac{2\left( x^2 - 4\right)}{x}\]

  4. Le numérateur de $f'(x)$ est un trinôme du second degré de racines évidentes $-2$ et $2$, et on a donc
    \[\begin{tabular}{|c|lcccc|}\hline $x$ & 0 &&$2$ && $+\infty$ \\\hline $x^2-4$ && $-$ &\zb&$+$&\\\hline $x$ &0& $+$ &$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\\\hline &\ $+\infty$&&&&$+\infty$\\ $f$&\psline(0,-.7)(0,1.4)\,\psline(0,-.7)(0,1.4)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$4-8\ln(2)$&&\\\hline \end{tabular}\]

    Le minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est $f(2)=8-4\ln(2)$ atteint en $x=2$.
  5. Sur l'intervalle ]0 ; 2], $f$ est continue et strictement décroissante, avec $\dsp\lim_{x\to+}f(x)=+\infty$ et $f(2)\simeq-1,5<0$.
    On en déduit, d'après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédaires version forte) que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur cet intervalle.
  6. On complète le tableau de variation précédent en y ajoutant $f(\alpha)=f(\beta)=0$, et on en déduit le signe de $f$:
    \[\begin{tabular}{|c|lcccccccc|}\hline $x$ & 0 &$\alpha$& &&$2$ && $\beta$ && $+\infty$ \\\hline &\ $+\infty$&&&&&&&&$+\infty$\\ $f$&\psline(0,-1.2)(0,.9)\,\psline(0,-1.2)(0,.9) &\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.4,.5)(1.1,-.4)0&&&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.4,-.4)(1.3,.5)&0&&\\ &&&&&$4-8\ln(2)$&&&&\\\hline $f(x)$&\ $+$&0&&&$-$&&0&$+$&\\\hline \end{tabular}\]


  7. Pour tout nombre réel $k$, on a
    \[g_k(x) = x^2 - 8\ln (x) + k = f(x) + k\]

    On a vu précédemment que, pour tout $x>0$, on a $f(x)\geqslant4-8ln(2)$ et ainsi,
    \[g_k(x)=f(x)+k\geqslant4-8ln(2)+k\]

    Pour $g_k(x)$ soit positive pour tout $x>0$, il faut et suffit donc de choisir $k=-4+8ln(2)$



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Exercice 7: Bac 2021 - Exponentielles, distance entre deux courbes

Le graphique suivant représente, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par:
\[f(x) = x^2e^{-x}\quad \text{ et } \quad g(x) = e^{-x}\]


\[\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-1)(2.5,9) \multido{\n=0+2}{5}{\psline[linewidth=0.1pt,linestyle=dashed](-2.5,\n)(2.5,\n)} \multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=0.1pt,linestyle=dashed](\n,-1)(\n,9)} \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-2.5,-1)(2.5,9) \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{-2.5}{2.5}{x dup mul 2.71828 x exp div} \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=2000]{-2.5}{2.5}{2.71828 x neg exp} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](-0.6,-1)(-0.6,9) \psdots(-0.6,0.656)(-0.6,1.822) \uput[r](-0.6,0.656){\footnotesize $N$}\uput[r](-0.6,1.822){\footnotesize $M$} \uput[r](-1.4,7){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[l](-2.1,7.4){\red $\mathcal{C}_g$} \end{pspicture*} \]


    1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    2. Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
  2. Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~1]$, on considère les points $M$ de coordonnées $(x~;~f(x))$ et $N$ de coordonnées $(x~;~g(x))$, et on note $d(x)$ la distance $MN$. On admet que : $d(x)= e^{-x} - x^2e^{-x}$.
    On admet que la fonction $d$ est dérivable sur l'intervalle $[-1~;~1]$ et on note $d'$ sa fonction dérivée.
    1. Montrer que $d'(x) = \text{e}^{-x}\left(x^2 - 2x - 1\right)$.
    2. En déduire les variations de la fonction $d$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$.
    3. Déterminer l'abscisse commune $x_0$ des points $M_0$ et $N_0$ permettant d'obtenir une distance $d\left(x_0\right)$ maximale, et donner une valeur approchée à $0,1$ près de la distance $M_0N_0$.
  3. Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = x + 2$.
    On considère la fonction $h$ dérivable sur $\R$ et définie par: $h(x) = e^{-x} - x - 2$.
    En étudiant le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$, déterminer le nombre de points d'intersection de la droite $\Delta$ et de la courbe $\mathcal{C}_g$.

Correction exercice 7

    1. Les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont les points d'abscisses $x$ solutions de l'équation $f(x)=g(x)$, soit
      \[f(x)=g(x) \iff x^2e^{-x}=e^{-x}\iff (x^2-1)e^{-x}=0\]


      Pour tout réel $x$, $e^{-x}>0$ donc en particulier $e^{-x}\neq 0$, et alors
      \[f(x)=g(x) \iff x^2-1=0 \iff x=-1 \text{ ou } x=1\]

      Pour $x=-1$, $g(x)=e$, et pour $x=1$, $g(x)=e^{-1}$.
      Les coordonnées des points d'intersection sont donc $\lp-1~;~e\rp$ et $\lp1~;~e^{-1}\rp$.
    2. Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, revient à étudier le signe de la différence $\varphi$ définie par
      \[\varphi(x)=f(x)-g(x)=(x^2-1)e^{-x}\]

      soit
      \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{1cm}} \begin{array}{|c | *7{c} |} \hline x & -\infty & \esp & -1 & \esp & 1 & \esp & +\infty \\\hline x^2-1 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\\hline e^{-x} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\\hline (x^2-1)e^{-x} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\ \hline \end{array}\]


      Donc sur les intervalles $]-\infty~;~-1[$ et $]1~;~+\infty[$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$, et sur l'intervalle $]-1~;~1[$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$,

    1. On a $d(x)=(1-x^2)e^{-x}$, soit $d=uv$ avec $u(x)=1-x^2$ donc $u'(x)=-2x$, et $v(x)=e^{-x}$ soit $v=e^w$ donc $v'=w'e^w$ et donc $v'(x)=-e^{-x}$. On a alors $d'=u'v+uv'$, soit
      \[\begin{array}{ll}d'(x)&=-2xe^{-x}+\lp1-x^2\rp\lp-e^{-x}\rp\\ &=e^{-x}\lp-2x-1+x^2\right) \enar\]

    2. Dans la dérivée précédente, on a $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$, et le trinôme du second degré a pour discriminant $\Delta=(-2)^2+4=8>0$ et admet donc deux racines $x_1=\dfrac{2-\sqrt8}2=1-\sqrt2$ et $x_2=1+\sqrt2$.
      On a alors
      \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{0cm}} \begin{array}{|c | *{11}{c} |} \hline x & -\infty & \esp & -1 & \esp & 1-\sqrt{2} & \esp & 1 & \esp & 1+\sqrt{2} & \esp & +\infty \\\hline e^{-x} & & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + &\\\hline x^2-2x-1& & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + &\\\hline d'(x)& & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + &\\\hline &&&&&&&&&&&\\ $d$&&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.8,-.3)(1,.8)&&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.7,.8)(1.4,-.3)&&&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.8,-.3)(1,.8)&\\ &&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}\]


      • Sur l'intervalle $\left [-1~;~1 - \sqrt{2}\right [$, $d'(x)>0$ donc $d$ est strictement croissante.
      • Sur l'intervalle $\left ]1-\sqrt{2}~;~1\right ]$, $d'(x)<0$ donc $d$ est strictement décroissante.
    3. D'après la question précédente, la distance $d(x)$ est maximale pour $x_0= 1-\sqrt{2}$, et vaut alors $d\left(1-\sqrt{2}\right)\approx 1,3$

  3. On étudie la fonction $h$.
    La fonction $h$ est dérivable, donc continue ssur $\R$, avec $h'(x)=-e^{-x}-1$ donc, comme $e^{-x}>0\iff-e^{-x}<0$, et donc $h'(x)=-e^{-x}-1<-1<0$ et la fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $\R$.
    • $h(-1)=e^{1}+1-2= e-1>0$; comme $h$ est strictement décroissante, $h(x)>0$ pour $x<-1$, donc $h$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]-\infty~;~-1[$.
    • $h(0)=e^{0}-2 = -1 <0$; comme $h$ est strictement décroissante, $h(x)<0$ pour $x>0$, donc $h$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    • Sur l'intervalle $[-1~;~0]$, la fonction $h$ est continue et strictement décroissante, et on sait que $h(-1)>0$ et $h(0)<0$; donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, ou théorème de la bijection, l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique.

    La droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}_g$ ont donc un unique point d'intersection dont l'abscisse est comprise entre $-1$ et $0$.



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Exercice 8: Bac 2021: étude de fonction avec exponentielle

Partie 1

On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.
À l'aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses :


  1. Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
  2. La convexité de la fonction $f$ sur $\R$.


\[\psset{unit=1.2cm,arrowsize=8pt 3} \begin{pspicture*}(-3.25,-2)(5.25,4.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](-2,-1)(4,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2,-1.25)(4,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{1 x add 2.71828 x exp div neg} \rput(1,-1.5){Courbe repr\'esentant la \textbf{d\'eriv\'ee} $f'$ de la fonction $f$.} \end{pspicture*}\]




Partie 2



On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\R$ par :
\[f(x) = (x + 2)e^{-x}\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{i}\rp$.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, et on note $f'$ et $f''$ les fonctions dérivées première et seconde de $f$ respectivement.


  1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f(x) = \dfrac{x}{e^{x}}+ 2e^{-x}$.
    En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
    Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera.
    On admet que $\dsp\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
    1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$,  $f'(x)=(-x-1)e^{-x}$.
    2. Étudier les variations sur $\R$ de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations.
    3. Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-2~;~-1]$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
  3. Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l'expression de $f''(x)$ et étudier la convexité de la fonction $f$.
    Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point A d'abscisse $0$ ?

Correction exercice 8
Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Métropole 8 juin 2021
Partie 1

  1. D'après la courbe représentant la fonction dérivée $f'$:
    • la fonction $f'$ est positive sur $]-\infty~;~1[$ donc la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle;
    • la fonction $f'$ est négative sur $]1~;~+\infty[$ donc la fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle.

  2. D'après la courbe représentant la fonction dérivée $f'$:
    • la fonction $f'$ est décroissante sur $]-\infty~;~0[$ donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle;
    • la fonction $f'$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle.

Partie 2

On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\R$ par: $f(x) = (x + 2)e^{-x}.$
  1. Pour tout nombre réel $x$, $f(x) = (x + 2)e^{-x}=xe^{-x}+2e^{-x}= \dfrac{x}{e^{x}}+ 2e^{-x}$.
    Par croissances comparées on a: $\dsp\lim_{x \to ++ \infty} \dfrac{e^{x}}{x}= +\infty$ donc $\dsp\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{e^{x}}= 0$.
    De plus $\dsp\lim_{x \to + \infty}e^{-x}= 0$ donc $\dsp\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
    On en déduit que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses, comme asymptote horizontale en $+\infty$.

    1. $f'(x)=1\times e^{-x} + (x+2)\times (-1)e^{-x} = (1-x-2)e^{-x}=(-x-1)e^{-x}$.
    2. Pour tout $x$, $e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-x-1$; donc $f'(x)$ s'annule et change de signe en $x=-1$.
      $f(-1) = (-1+2)e^{1}=e$; on établit le tableau de variations de $f$ sur $\R$:

      \[{\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \psset{nodesep=1pt,arrowsize=5pt 3} \def\esp{\hspace*{2.5cm}} \def\hauteur{0pt} \begin{array}{|c|l*4{c}|} \hline x & -\infty & \esp & -1 & \esp & +\infty \\ \hline -x-1 & & + & \vline\hspace{-2.7pt}0 & - & \\ \hline f'(x) & & + & \vline\hspace{-2.7pt}0 & - & \\ \hline & & & \Rnode{max}{e} & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{-\infty} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array}}\]

    3. Sur l'intervalle $[-2~;~-1]$, la fonction $f$ est strictement croissante et continue car dérivable sur cetintervalle. $f(-2)=0<2$ et $f(-1)=e>2$ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), l'équation $f(x)=2$ admet une solution unique sur l'intervalle $[-2~;~-1]$.
      Avec la calculatrice, on trouve $\alpha\simeq-1,6$.

  3. $f''(x)=(-1)\times e^{-x} + (-x-1)\times(-1)e^{-x} = (-1+x+1)e^{-x}=x e^{-x}$
    $e^{-x}>0$ pour tout $x$, donc $f''(x)$ est du signe de $x$.
    • Sur $]-\infty~;~0[$, $f''(x)<0$ donc la fonction $f$ est concave.
    • Sur $]0~;~+\infty[$, $f''(x)>0$ donc la fonction $f$ est convexe.
    • En $x=0$, la dérivée seconde s'annule et change de signe donc le point A d'abscisse 0 de $\mathcal{C}$ est le point d'inflexion de cette courbe.




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Exercice 9: Bac 2019, Antille-Guyane - Fonction avec exponentielle, éléments graphiques, étude et primitive


Partie A
Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(x)=\dfrac{a}{1+e^{-bx}}.\]


La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A(0 ; 0,5). La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A passe par le point B(10 ; 1).

\[\psset{xunit=0.675cm,yunit=4.8cm,comma=true} \begin{pspicture}(-1,-0.05)(20,1,2) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(20,1.2) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{1 1 2.71828 x 0.2 mul neg exp add div} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{14}{x 0.05 mul 0.5 add} \psdots(10,1)\uput[ul](10,1){B} \uput[u](17,0.95){\blue $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture}\]




  1. Justifier que $a=1$.
    On obtient alors, pour tout réel $x \geqslant 0$,   $f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-bx}}$.
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
    Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$
    \[f'(x)=\dfrac{be^{-bx}}{\lp1+e^{-bx}\rp^2}.\]

  3. En utilisant les données de l'énoncé, déterminer $b$.



Partie B
La proportion d'individus qui possèdent un certain type d'équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[p(x)=\dfrac{1}{1+e^{-0,2x}}.\]

Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1er janvier 2000.
Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d'individus équipés après $x$ années.
Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d'individus équipés au milieu de l'année 2003.


  1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2010? On en donnera une valeur arrondie au centième.
    1. Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
    2. Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
    3. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
  3. On considère que, lorsque la proportion d'individus équipés dépasse 95 %, le marché est saturé. Déterminer, en expliquant la démarche, l'année au cours de laquelle cela se produit.
    1. Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$, $p(x) = \dfrac{e^{0,2x}}{1 + e^{0,2x}}$.
    2. En déduire une primitive $P$ de la fonction $p$.
    3. La proportion moyenne d'individus équipés entre 2008 et 2010 est donnée par le nombre $m=\dfrac{P(10)-P(8)}2$. Déterminer une valeur arrondie au centième de $m$.


Correction exercice 9

Partie A
  1. $A(0;0,5)\in\mathcal{C}_f\iff f(0)=0,5 \iff \dfrac{a}{1+e^0}=\dfrac{a}2=\dfrac12\iff a=1$
  2. On a $f=\dfrac1u$ avec $u(x)=1+e^{-bx}$ donc $u'(x)=-be^{-bx}$
    et alors $f'=-\dfrac1{u^2}$, soit $f'(x) = -\dfrac{-be^{-bx}}{\left(1+e^{-bx}\right)^2} =\dfrac{be^{-bx}}{\left(1+e^{-bx}\right)^2}$
  3. La tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A(0;0,5)$ passe par $B(10;1)$. Le coefficient directeur de cette tangente est donc
    \[m=\dfrac{1-0,5}{10-0}=\dfrac1{20}=0,05\]

    Par ailleurs, ce coefficient directeur est aussi $f'(0)$, et donc
    \[f'(0)=\dfrac{b}{\lp1+e^0\rp^2}=\dfrac{b}4=0,05 \iff b=0,2\]


Partie B
  1. En 2010, on a $x=10$, et donc la proportion d'individus équipés est $f(10)\simeq 0,88$.
    1. Comme vu à la question 2, partie A, on a, avec $b=0,2$, $f'(x) =\dfrac{0,2e^{-0,2x}}{\left(1+e^{-0,2x}\right)^2}$ et donc, comme $e^{-0,2x}>0$ et $\left(1+e^{-0,2x}\right)^2>0$, la fonction $p$ est strictement croissante sur $\R$ donc aussi sur $[0;+\infty[$.
    2. En $+\infty$, on a $\dsp\lim_{x\to+\infty}-0,2x=-\infty$, donc par composition $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-0,2x}=0$ et donc, finalement $\dsp\lim_{x\to+\infty}p(x)=1$.
    3. Au bout d'un temps assez long, tout le monde va posséder ce type d'équipement.
  3. On cherche $x$ tel que
    \[\begin{array}{ll}p(x)>95\%=0,95 &\iff \dfrac{1}{1 + e^{-0,2x}}>0,95\\ &\iff 1 + e^{-0,2x}<\dfrac1{0,95}\\ &\iff e^{-0,2x}<\dfrac1{0,95}-1=\dfrac{0,05}{0,95}\\ &\iff -0,2x<\ln\lp\dfrac{0,05}{0,95}\rp\\ &\iff x>-\dfrac1{0,2}\ln\lp\dfrac{0,05}{0,95}\rp\simeq14,7 \enar\]

    Cela se produit donc au cours de la 14ème année.

    1. \[p(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-0,2x}} =\dfrac{e^{0,2x}}{e^{0,2x}}\tm\dfrac{1}{1 + e^{-0,2x}} =\dfrac{e^{0,2x}}{1 + e^{0,2x}}\]

    2. Exprimer sous cette forme, on a donc $p$ de la forme $\dfrac{u'}{u}$, et on trouve donc une primitive
      \[P(x)=\dfrac1{0,2}\ln\lp1+e^{0,2x}\rp=5\ln\lp1+e^{0,2x}\rp\]


    3. La proportion moyenne d'individus équipés entre 2008 et 2010 est alors
      \[m=\dfrac{P(10)-P(8)}2 =\dfrac12\left( \dfrac1{0,2}\ln\lp1+e^{2}\right) + \dfrac1{0,2}\ln\lp1+e^{1,6}\rp\rp\simeq 0,86 \]





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Exercice 10: Bac 2017, Antilles-Guyane - Exponentielles et tangentes perpendiculaires

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $f(x)=e^x$ et $g(x)=e^{-x}$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ et $\mathcal{C}_g$ celle de $g$ dans un repère orthonormé du plan.

Pour tout réel $a$, on note $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ et $N$ le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $a$.
La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en $P$, la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ coupe l'axe des abscisses en $Q$,
  1. Faire une figure représentant la situation. Que vaut la longueur $PQ$ sur cette figure ?
  2. Démontrer que la tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$.
  3. Démontrer que, indépendamment de la valeur du réel $a$, on a $PQ=2$.

Correction exercice 10
D'après Bac Antilles Guyane 2017

  1. \[\psset{unit=2.6cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-3.2,-1.5)(3.2,3.5) \psline{->}(-3.3,0)(3.5,0) \psline{->}(0,-1.3)(0,3.4) \multido{\i=-3+1}{7}{\psline(\i,-.05)(\i,.05)\rput(\i,-.2){$\i$}} \multido{\i=-1+1}{5}{\psline(-.05,\i)(.05,\i)\rput[r](-.05,\i){$\i$}} \psplot[linewidth=1.6pt]{-5}{3}{2.718 x exp} \psplot[linewidth=1.6pt]{-3}{5}{2.718 -1 x mul exp} \psline[linestyle=dashed](.5,0)(!.5\space 2.718 .5 exp) \rput(.5,-.2){$x$} \rput(.65,.7){$N$}\rput(.65,1.6){$M$} \psplot{-3}{3}{2.718 .5 exp x .5 add mul} \psplot{-3}{3}{2.718 -.5 exp -1 mul x 1.5 sub mul} \rput(-.45,-.2){$P$} \rput(1.5,-.2){$Q$} \end{pspicture*}\]

  2. La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ a pour équation
    \[\begin{array}{ll}y&=f'(a)(x-a)+f(a)=e^a(x-a)+e^a\\[.4em] &=e^ax+e^a(1-a)\enar\]

    Une équation cartésienne de cette droite est $e^ax-y+e^a(1-a)=0$, et donc $\vec{u}\left( e^a;-1\rp$ est un vecteur normal à cette droite.

    De même, la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ a pour équation
    \[\begin{array}{ll}y&=g'(a)(x-a)+g(a)=-e^{-a}(x-a)+e^{-a}\\[.4em] &=-e^{-a}x+e^{-a}(1+a)\enar\]

    Une équation cartésienne de cette droite est $e^{-a}x+y-e^{-a}(1+a)=0$ et donc $\vec{v}\left( e^{-a};1\rp$ est un vecteur normal à cette droite.

    On a $\vec{u}\cdot\vec{v}=e^ae^{-a}-1=1-1=0$, ce qui montre que ces vecteurs sont orthogonaux, comme ces deux tangentes, qui sont donc perpendiculaires.
  3. On détermine les abscisses des points $P$ et $Q$, qui sont à l'intersection des deux tangentes et de l'axe des abscisses.
    On a donc, pour le point $Q$, $y=0=-e^{-a}x+e^{-a}(1+a)\iff x=1+a$.
    De même, pour le point $P$, $y=0=e^ax+e^a(1-a)\iff x=-1+a$.
    On en déduit donc que $PQ=1+a-(-1+a)=2$ et ne dépend donc pas de l'abscisse $a$ des points $M$ et $N$.



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Exercice 11: Bac 2016, Amérique du nord - Volume d'un récupérateur d'eau

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau. Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant:
  • elle doit être située à deux mètres de sa maison;
  • la profondeur maximale doit être de deux mètres;
  • elle doit mesurer cinq mètres de long;
  • elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-contre.
$$(-1.8,-0.5)(7,5) \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7) \rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}} \psline(2.1,2.7)(5.4,2) \psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7) \psline(2,1.8)(5.4,2) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7) \psset{arrowsize=2pt 3} \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05) \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05) \uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](1.35,3.35){5 m} $$


La partie incurvée est modélisée par la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2;2e]$ définie par:

\[f(x)=x\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2.\]

La courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1m et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points $A(2;2)$, $I(2;0)$ et $B(2e;2)$.

\[\psset{unit=2cm} \begin{pspicture*}(-0.25,-0.3)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.2,-0.25)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5) \uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psline(5.437,2)(6,2) \psline(6,0)(2,0)} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psline(5.437,2)(6,2) \psline(6,0)(2,0)} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2) \psdots(2,2)(5.437,2) \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2 add 5.437 sub} \uput[u](2,2){$A$} \uput[u](5.437,2){$B$} \uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$} \uput[dl](2,0){$I$} \uput[dr](3.437,0){$D$} \rput(1,1){Terrain} \rput(3.2,1.2){Cuve} \rput(4.7,0.5){Terrain} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2,2)(5.437,2) \end{pspicture*}\]




Partie A   L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.


  1. Justifier que les points $B$ et $I$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_f$ et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $I$.
  2. On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$, et $D$ le point d'intersection de la droite $\mathcal{T}$ avec l'axe des abscisses.
    1. Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ et en déduire les coordonnées de $D$.
    2. On appelle $S$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, les droites d'équations $y=2$, $x=2$ et $x=2e$. $S$ peut être encadrée par l'aire du triangle $ABI$ et celle du trapèze $AIDB$.
      Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
    1. Montrer que, sur l'intervalle $[2;2e]$, la fonction $G$ définie par
      \[G(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-\dfrac{x^2}{4}\]

      est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x)=x\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp$.
    2. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2;2e]$.
    3. Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ et en déduire une valeur approchée du volume $V$ de la cuve au $m^3$ près.



Partie B   Pour tout réel $x$ compris entre $2$ et $2e$, on note $v(x)$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à $f(x)$.
On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2 ; 2e],

\[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]


\[\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm} \begin{pspicture}(-.9,-0.5)(5.8,3.2) \psline(0,-0.5)(0,3.5) \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(5,1.68)(5.437,2.1) \multido{\n=0+1}{4}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)} \rput{3}(0,0){ \psline(-0.5,0)(6,0) \multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0.1)(\n,-0.1)\uput[d](\n,0){\n}} } \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.5)(0.35,2.3)(0.35,0.9) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.37,2.47)(5.08,1.7) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{ \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(5.08,1.75) \psline(5.08,1.75)(2,1.5) } \pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95) \psline(2,1.85)(2,1.5) \psline(0.35,2.7)(0.35,2.3) \pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](5.08,0.2)(5.08,1.75)(0,1.37) \uput[d](5.2,0.3){$x$} \uput[l](0,1.37){$f(x)$} \multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}} \end{pspicture}\]


  1. Quel volume d'eau, au m$^3$ près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
  2. On rappelle que $V$ est le volume total de la cuve, $f$ est la fonction définie en début d'exercice et $v$ la fonction définie dans la partie B.
    On considère l'algorithme ci-dessous.
    Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.
    Variables: a est un réel
    b est un réel
    Traitement: a prend la valeur 2
    b prend la valeur 2e
    Tant que v(b)-v(a)>10-3 faire:
    c prend la valeur (a+b)/2
    Si v(c)<V/2, alors:
    a prend la valeur c
    Sinon
    b prend la valeur c
    Fin Si
    Fin Tant que
    Sortie: Afficher f(c)

Correction exercice 11
Bac S - Amérique du nord, juin 2016 - 6 points
Partie A  
  1. On a $f(2e)=2e\ln\lp\dfrac{2e}{2}\rp-2e+2=2e\ln(e)-2e+2=2$, car $\ln(e)=1$, et donc $B(2e;2)\in\mathcal{C}_f$.
    De même, $f(2)=2\ln\lp\dfrac{2}{2}\rp-2+2=0$, car $\ln(1)=0$, et donc $I(2;0)\in\mathcal{C}_f$.
    De plus, en $I$ le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ est $f'(2)$.
    On a, pour tout $x\geqslant2$, $f(x)=x\lp\ln(x)-\ln(2)\rp-x+2$, soit $f=uv+w$, avec $u(x)=x$, donc $u'(x)=1$, $v(x)=\ln(x)-\ln(2)$, donc $v'(x)=\dfrac1x$, et $w(x)=-x+2$, donc $w'(x)=-1$.
    On a alors, $f'=u'v+uv'+w'$, soit $f'(x)=\ln(x)-\ln(2)+x\dfrac1x-1=\ln(x)-\ln(2) =\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp$.
    Ainsi, la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $I$ a pour coefficient directeur $f'(2)=\ln(1)=0$ et passe par $I$: c'est l'axe des abscisses.
    1. Une équation de $\mathcal{T}$ est: $y=f'(2e)(x-2e)+f(2e)$, avec $f'(2e)=\ln(e)=1$ et $f(2e)=2$, d'où $\mathcal{T}: y=x-2e+2$.

      On a alors $D(x_D;y_D)$ avec $y_D=0=x_D-2e+2\iff x_D=2e-2$. Ainsi, $D(2e-2;0)$.
    2. L'aire de $ABI$, trangle rectangle en $I$, est $\dfrac{AI\times AB}{2}=\dfrac{2\times(2e-2)}{2}=2e-2$
      et l'aire du trapèze $AIDB$ est $\dfrac{(AB+ID)\times AI}{2}=\dfrac{(2e-2+2e-2-2)\times2}{2}=4e-6$.
      Ainsi le volume $V$ de la cuve est tel que
      \[5e\leqslant V\leqslant 5(4e-6)\]

      soit approximativement
      \[17,18\leqslant V\leqslant 24,37\]

    1. On a $G=uv-w$ avec $u(x)=x^2/2$, donc $u'(x)=x$, $v(x)=\ln\lp\dfrac{x}2\rp=\ln(x)-\ln(2)$, donc $v'(x)=1/x$, et $w(x)=x^2/4$, donc $w'(x)=x/2$.
      On a alors, $G'=u'v+uv'-w'$, soit
      \[\begin{array}{ll} G'(x)&=x\ln\lp\dfrac{x}2\rp+\dfrac{x^2}{2}\tm\dfrac1x-\dfrac{x}{2}\\[1em] &=x\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{2}\\[.8em] &=g(x)\enar\]

      ce qui montre que $G$ est bien une primitive de $g$.
    2. On en déduit qu'une primitive de $f$ définie par $f(x)=g(x)-x+2$ est donnée par
      \[F(x)=G(x)-\dfrac12x^2+2x\]

    3. On peut alors calculer l'intégrale:
      \[\begin{array}{ll} S&\dsp=\int_2^{2e}\Bigl(2-f(x)\Bigr)dx\\[1em] &=\Bigl[ 2x-F(x)\Bigr]_2^{2e}\\[1em] &=\Bigl[ -G(x)+\dfrac12x^2\Bigr]_2^{2e}\\[1em] &=-G(2e)+\dfrac12(2e)^2-\Bigl(-G(2)+\dfrac122^2\Bigr)\\[.7em] &=G(2)-G(2e)+2e^2-2 \enar\]

      avec $G(2)=2\ln(1)-1=-1$, et $G(2e)=2e^2\ln(e)-e^2=e^2$, donc
      \[S=-1-e^2+2e^2-2=e^2-3\]

      et on en déduit le volume de la cuve: $V=5S=5(e^2-3)\simeq 22\,m^3$.




Partie B
  1. Le volume est $v(x)$ avec $x$ tel que $f(x)=1$. On cherche donc à résoudre l'équation $f(x)=1$, avec $f(x)=x\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2$.
    On ne sait pas résoudre excactement cette équation. On peut par contre le faire de manière approchée, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.
    On sait que $f'(x)=\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp$, d'après A.1. et donc, comme $\ln$ est strictement croissante sur $\R_+^*$, que pour tout $x\in[2;2e]$, $f'(x)> \ln\lp\dfrac{2}{2}\rp=0$.
    Ainsi $f$ est strictement croissante sur $[2;2e]$, avec de plus $f(2)=0$ et $f(2e)=2$. On en déduit, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), qu'il existe une unique solution $\alpha\in[2;2e]$ à l'équation $f(x)=1$.
    Avec la calculatrice (à l'aide d'un tableau de valeurs, ou par dichotomie par exemple), on trouve $\alpha\simeq4,3$, et alors le volume est de $v(\alpha)\simeq 7,3\simeq 7 m^3$.
  2. Cet algorithme est un algorithme de recherche par dichotomie.
    Il permet de chercher les valeurs d'un encadrement $[a;b]$ pour lequel la hauteur $c$ correspond à la moitié de la cuve.
    Cet encadrement permet d'avoir un résultat précis à $10^{-3}$ près.



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Exercice 12: Bac 2015, Nouvelle Calédonie - Etude de fonctions avec un paramètre et une exponentielle

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp.
Soit $a un nombre réel strictement positif.
On note $\Delta_a la droite d'équation $y = ax et $\Gamma la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp.
Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de $\Gamma et $\Delta_a suivant les valeurs de $a.
Pour cela. on considère la fonction $f_a définie pour tout nombre réel $x par

f_a(x) = \text{e}^x - ax.


On admet pour tout réel $a que la fonction $f_a est dérivable sur l'ensemble $\R des nombres réels.


  1. Étude du cas particulier $a = 2 La fonction $f_2 est donc définie pour tout $x réel par $f_2(x) =e^x - 2x.
    1. Étudier les variations de la fonction $f_2 sur $\R et dresser son tableau de variations sur $\R (on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
    2. En déduire que $\Gamma et $\Delta_2 n'ont pas de point d'intersection.
  2. Étude du cas général où $a est un réel strictement positif
    1. Déterminer les limites de la fonction $f_a en $+\infty et en $-\infty.
    2. Étudier les variations de la fonction $f_a sur $\R. Montrer alors que le minimum sur $\R de la fonction $f_a est $a - a \ln a.
    3. Étudier le signe de $a - a \ln a suivant les valeurs du nombre réel strictement positif $a.
    4. Déterminer selon les valeurs du réel $a le nombre de points communs à $\Gamma et $\Delta_a.

Correction exercice 12
    1. D'après l'énoncé la fonction $f_2 est dérivable sur $\R.
      On a $f'_2(x) = e^x - 2. Or $e^x - 2 > 0 \iff e^x > 2=e^{\ln2} \iff x > \ln 2 car la fonction exponentielle est croissante. On a donc le tableau de variations suivant :
      \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$- \infty$}\uput[u](4,2.4){$\ln 2$}\uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$} \rput(0.5,1){$f$}\uput[u](4,0){$2 - 2\ln 2$} \psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5) \end{pspicture}


    2. Comme $2 - 2\ln 2 \approx 0,614>0, on en déduit que la fonction est strictement positive sur $\R, soit $f_2(x)=e^x-2x>0 \iff e^x>2x.
      Ainsi, la courbe $\Gamma représentative de la fonction exponentielle est toujours strictement au dessus de la droite $\Delta_2.
      En particulier, $\Gamma et $\Delta_2 n'ont pas de point commun.
    1. $\bullet En plus l'infini : $f_a(x) = e^x\lp1-\dfrac{ax}{e^x}\right) =e^x\lp1-a\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}\right) .
      On sait que, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty donc $\dsp\lim_{x \to +\infty}\lp1-a\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}\rp=1 et donc, comme $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, par produit des limites $\dsp\lim_{x \to +\infty} f_a(x)=+\infty.
      $\bullet En moins l'infini : $\dsp\lim_{x \to -\infty} e^x=0 et $\dsp\lim_{x\to-\infty} -ax=+\infty car $a>0. Donc, par addtion des limites, $\dsp\lim_{x \to -\infty} f_a(x) = + \infty.
    2. D'après l'énoncé, $f_a est dérivable sur $\R, et on a $f'_a(x) = e^x - a.
      $f'(a)=e^x - a > 0 \iff e^x > a=e^{\ln a} \iff x > \ln a, car $a > 0 et la fonction exponentielle est strictement croissante. On a donc le même tableau de variations que pour $f_2 en remplaçant 2 par $a. En particulier, la fonction $f_a admet donc un minimum en $\ln a qui est $f_a\lp\ln a\right) = a - a\ln a.
    3. $a - a \ln a = a\left( 1 - \ln a\rp avec $1-\ln a<0\iff 1=\ln e<\ln a\iff e<a, par croissance de la fonction logarithme; ainsi:
      \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $a$ & $0$ && $e$ && $+\infty$ \\\hline $a$ & &&$+$ && \\\hline $1-\ln a$ & \db& $-$ &\zb&$+$ & \\\hline $a\lp1-\ln a\rp$ & \db& $-$ &\zb&$+$ & \\\hline \end{tabular}


    4. D'après le tableau de signes précédent qui donne le signe du minimum de $f_a,
      $\bullet si $a>e, alors $f_a est strictement positive, et donc, comme en 1), $\Gamma et $\Delta_a n'ont aucun point d'intersection.
      $\bullet si $a=e, alors $f_a\left( \ln a\rp=f_a(1)=0, et pour tout $x\not=1 $f_a(x)>0.
      $\Gamma et $\Delta_e se coupent une unique fois ($\Delta_e est tangente à $\Gamma au point $(1;e)).
      $\bullet si $0<a<e, le minimum de $f est négatif,
      \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$- \infty$}\uput[u](4,2.4){$\ln a$}\uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \uput[u](1.5,1.4){$+\infty$}\uput[u](6.5,1.4){$+\infty$} \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$} \rput(0.5,1){$f$}\uput[u](4,0){$a - 2\ln a$} \psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5) \end{pspicture}


      Sur l'intervalle $]-\infty~;~\ln a[, la fonction $f_a est continue (car dérivable), strictement décroissante, avec $\dsp\lim_{x\to{-\infty}}f_a(x)>0 et $f\lp\ln a\rp<0. Ainsi, d'après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intérmédiaires), il existe un unique $\alpha\in]-\infty;\ln a[ tel que $f_a\left( \alpha\rp=0
      Le même raisonnement est aussi valable sur $[\ln a;+\infty[: il existe un unique $\beta\in]\ln a;+\infty[ tel que $f_a(\beta)=0.
      Ainsi, si $0<a<e, $\Gamma et $\Delta_a ont deux points d'intersections distincts (les points de coordonnées $(\alpha;a\alpha) et $(\beta;a\beta)).


\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture*}(-1,-0.4)(2,5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-0.4)(2,5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.6pt,linecolor=green]{-1}{2}{x 2 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.6pt,linecolor=red]{-1}{2}{x 2.71828 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.6pt,linecolor=cyan]{-1}{2}{x 3 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-1}{2}{2.71828 x exp } \rput{45}(1.8,3.4){\green $y = 2x$} \rput{53}(1.8,4.6){\red $y = \text{e}x$} \rput{57}(1,3.2){\cyan $y = 3x$} \rput(-0.5,0.75){\blue $\Gamma$} \uput[ul](0,0){O} \end{pspicture*}




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Exercice 13: Bac 2014, Antilles-Guyane - Etude de fonctions, limites, TVI, tangente, intégrale

On considère la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels par

On note sa courbe représentative.
 
Partie A
  1. Soit la fonction définie et dérivable sur l'ensemble par . Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction sur (les limites de aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues). En déduire le signe de .
  2. Déterminer la limite de en puis la limite de en .
  3. On appelle la dérivée de la fonction sur .
    Démontrer que, pour tout réel , .
  4. En déduire le tableau de variation de la fonction sur .
  5. Démontrer que l'équation admet une unique solution réelle sur . Démontrer que .
    1. Démontrer que la droite d'équation est tangente à la courbe au point d'abscisse .
    2. Étudier la position relative de la courbe et de la droite .




Partie B
  1. Soit la fonction définie et dérivable sur par .
    Démontrer que est une primitive sur de la fonction définie par .
  2. On note le domaine délimité par la courbe , la droite et les droites d'équation et . Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine .

Correction exercice 13
(Bac S, Antilles-Guyane, juin 2014)
Partie A
  1. Pour tout réel , . On a alors , et donc,


    On déduit du tableau précédent que, pour tout réel , .
  2. En . et donc, par somme: .
    En . et, par croissances comparées , donc, par somme .
  3. Pour tout réel , on a:
  4. On a vu plus haut que, pour tout réel , , et comme par ailleurs , on en déduit que .
    On obtient alors le tableau de variations suivant:


  5. La fonction est continue sur , strictement croissante. D'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'intervalle a pour image , ce dernier intervalle contenant 0, on en déduit que l'équation possède dans une solution unique.
    Par ailleurs, et , donc: .
    1. La tangente a pour équation réduite:

    2. Pour tout réel , ,
      et donc,


      On en déduit que est située en dessous de .

Partie B
  1. Pour tout réel , ,
    et la fonction est donc une primitive de sur .
  2. Sur , est en dessous de , l'aire du domaine est donc:




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Exercice 14: Bac 2011, Amérique du nord - Fonctions avec exponentielle, position relative courbe/droite, puis suite récurrente

Partie A

On considère la fonction $g définie sur $[0;+\infty[ par $g(x)=e^x-x-1.
  1. Etudier les variations de la fonction $g.
  2. Déterminer le signe de $g(x) suivant les valeurs de $x.
  3. En déduire que pour tout $x de $[0;+\infty[, $e^x-x>0.


Partie B

On considère la fonction $f définie sur $[0;1] par $f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x-x}.
La courbe $(C) représentative de la fonction $f dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
On admet que $f est strictement croissante sur $[0;1].
  1. Montrer que pour tout $x de $[0;1], $f(x)\in[0;1].
  2. Soit $(D) la droite d'équation $y=x.
    1. Montrer que pour tout $x de $[0;1], $f(x)-x=\dfrac{(1-x)g(x)}{e^x-x}.
    2. Etudier la position relative de la droite $(D) et de la courbe $(C) sur $[0;1].
    1. Déterminer une primitive de $f sur $[0;1].
    2. Calculer l'aire, en unité d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(C), la droite $(D) et les droites d'équations $x=0 et $x=1.


Partie C

On considère la suite $\left( u_n\rp définie par: $\la\begin{array}{ll} u_0=\dfrac12 \\[0.3cm] \text{pour tout entier naturel } n, u_{n+1}=f\left( u_n\rp\enar\right..
  1. Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.
  2. Montrer que pour tout entier $n, $\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1.
  3. En déduire que la suite $\left( u_n\rp est convergente et déterminer sa limite.

Annexe
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

\psset{unit=5cm,arrowsize=7pt} \fbox{\begin{pspicture}(-.2,-.2)(1.5,1.5) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(-.2,0)(1.5,0) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,-.2)(0,1.5) \psplot{0}{1}{2.718 x exp 1 sub 2.718 x exp x sub div} \newcommand{\f}[1]{#1 10 div} \multido{\i=-2+1}{18}{ \psline[linewidth=.8pt,linestyle=dotted](!\f{\i}\space-.2)(!\f{\i}\space1.5) \psline[linewidth=.8pt,linestyle=dotted](!-.2\space\f{\i})(!1.5\space\f{\i}) } \rput(-.05,-.05){$O$} \psline(1,-.02)(1,.02)\rput(1,-.08){$1$} \psline(-.02,1)(.02,1)\rput(-.08,1){$1$} \rput(.9,1.05){$(C)$} \end{pspicture}}


Correction exercice 14
Partie A On considère la fonction $g définie sur $[0;+\infty[ par $g(x)=e^x-x-1.
  1. $g est la somme de la fonction exponentielle et d'une fonction affine et est donc dérivable sur $\R, donc sur $[0;+\infty[, avec, $g'(x)=e^x-1.
    De plus, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R, lorsque $x\in[0;1], on a $e^x\geqslant e^0=1, et donc $g'(x)=e^x-1\geqslant0.
    On a $g'(x)>0\iff e^x>1\iff x>0, car Ainsi, on a le tableau de variation:
    \begin{tabular}{|c|cccc|}\hline $x$ & $0$ &\hspace*{1cm}& &$+\infty$ \\\hline $g'(x)$ &$0$& $+$ &&\\\hline &&&&\\ $g$&&\psline[arrowsize=6pt]{->}(-.6,-.2)(1,.4)&&\\ &$0$&&&\\\hline \end{tabular}

  2. Comme $g est strictement croissante sur $\R_+ et que $g(0)=0, on en déduit que pour tout $x\geqslant 0, $g(x)\geqslant g(0)=0.
  3. On a donc pour tout $x\geqslant 0, $g(x)=e^x-x-1\geqslant 0, et ainsi, $e^x-x\geqslant 1>0.


Partie B
  1. Comme $f est strictement croissante sur $[0;1], on a $x\in[0;1]\iff 0\leqslant x\leqslant 1\iff f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1).
    Or $f(0)=\dfrac{e^0-1}{e^0-1}=0 et $f(1)=\dfrac{e^1-1}{e^1-1}=1, et on a donc bien ainsi $0\leqslant f(x)\leqslant 1 \iff f(x)\in[0;1].
  2. Soit $(D) la droite d'équation $y=x.
    1. Pour tout $x de $[0;1], $f(x)-x =\dfrac{e^x-1}{e^x-x}-x =\dfrac{e^x-1-x\left( e^x-x\rp}{e^x-x} =\dfrac{e^x-1-xe^x+x^2}{e^x-x}.
      Or $(1-x)g(x)=(1-x)\left( e^x-x-1\rp=e^x-x-1-xe^x+x^2+x=e^x-1-xe^x+x^2.
      On a donc ainsi bien, pour tout $x\in[0;1], $f(x)-x=\dfrac{(1-x)g(x)}{e^x-x}.
    2. On a vue que, pour tout $x\in\R_+, donc aussi tout $x\in[0;1], $g(x)\geqslant 0 et $e^x-x>0.
      Ainsi, $f(x)-x est du même signe que $1-x, et donc $f(x)-x est positif sur $[0;1]: la courbe $(C) est au dessus de la droite $(D) sur $[0;1], $(C) et $(D) se coupant en $x=0 (car $g(0)=0) et en $x=1.
    1. $f est de la forme $\dfrac{u'}{u}, avec $u(x)=e^x-x.
      Comme, pour $x\in[0;1], $e^x-x>0, d'après la partie A, une primitiver de $f est donc $F=\ln u, soit $F(x)=\ln\left( e^x-x\rp.
    2. L'aire du domaine est:
      \begin{array}{ll}\mathcal{A}&\dsp=\int_0^1\!\!\Bigl( f(x)-x\Bigr)\,dx =\int_0^1\!\!f(x)\,dx-\int_0^1\!\!x\,dx =\Bigl[F(x)\Bigr]_0^1-\Bigl[\dfrac12x^2\Bigr]_0^1\\[0.3cm] &\dsp=\Bigl(F(1)-F(0)\Bigr)- \Bigl(\dfrac121^2-\dfrac120^2\Bigr) =\ln(e-1)-\dfrac12\enar


Partie C


  1. \psset{unit=5cm,arrowsize=7pt} \fbox{\begin{pspicture}(-.2,-.2)(1.5,1.5) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(-.2,0)(1.5,0) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,-.2)(0,1.5) \newcommand{\f}[1]{2.718 #1 exp 1 sub 2.718 #1 exp #1 sub div} \psplot{0}{1}{\f{x}} \newcommand{\fr}[1]{#1 10 div} \multido{\i=-2+1}{18}{ \psline[linewidth=.8pt,linestyle=dotted](!\fr{\i}\space-.2)(!\fr{\i}\space1.5) \psline[linewidth=.8pt,linestyle=dotted](!-.2\space\fr{\i})(!1.5\space\fr{\i}) } \rput(-.05,-.05){$O$} \psline(1,-.02)(1,.02)\rput(1,-.08){$1$} \psline(-.02,1)(.02,1)\rput(-.08,1){$1$} \rput(.9,1.05){$(C)$} % Construction des termes de la suite \psplot{-0.2}{1.2}{x} \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } % Valeur initiale (u_0) \def\xinit{0.5} \def\nmax{3} % Initialisation pour u_0 \psline[linestyle=dashed] (\xinit,0) (!\xinit\space\f{\xinit}) (!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.06){$u_0$} % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed] (!\fn{\i}{\xinit} \space 0) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit}) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.06){$u_\i$} } \end{pspicture}}


  2. Montrons par récurrence que pour tout entier $n, $\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1.
    Initialisation: Pour $n=0, on a $u_0=\dfrac12 et $u_1=f\left( u_0\rp=f\left(\dfrac12\rp\simeq 0,56, et donc on a bien $\dfrac12\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 1.
    Hérédité: Supposons que pour un certain entier $n, on ait $\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1, alors, comme la fonction $f est strictement croissante sur $[0;1], on a donc $f\lp\dfrac12\rp\leqslant f\lp u_n\rp\leqslant f\lp u_{n+1}\rp\leqslant f(1),
    soit aussi, comme $f\lp\dfrac12\rp\simeq 0,56\geqslant \dfrac12, $f(1)=1, et $f\left( u_n\rp=u_{n+1} et $f\left( u_{n+1}\rp=u_{n+2},
    $\dfrac12\leqslant f\lp\dfrac12\rp\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 1,
    ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang $n+1.
    Conclusion: On vient donc de démontrer d'après le principe de récurrence que pour tout entier $n, $\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1.
  3. D'après le résultat précédent, la suite $\left( u_n\rp est croissante et majorée par 1, elle est donc convergente vers une limite $l.
    Comme la fonction $f est continue sur $\R_+ (car elle y est même dérivable), on a alors
    u_{n+1}=f\left( u_n\right) \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty} u_{n+1}=\lim_{n\to+\infty}f\left( u_n\right) \Longrightarrow l=f(l)

    La limite $l est donc une solution de l'équation $f(l)=l (c'est aussi le théorème du point fixe), et il s'agit donc de l'abscisse d'un point d'intersection de $(C) et $(D), soit $l=0 ou $l=1 d'après la question 2.b) de la partie B.
    Or, d'après la question précédente, pour tout entier $n, $\dfrac12\leqslant U_n\leqslant 1, et donc $\left( u_n\rp est minorée par $\dfrac12 et ne peut pas converger vers $l=0.
    Ainsi $l=1, et la suite $\left( u_n\rp converge donc vers 1.



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Exercice 15: Bac 2012, Centres étrangers - Résolution d'une équation avec exponentielle

(Bac S, Centres étrangers 2012, 6 points)

On considère l'équation (E) d'inconnue $x$ réelle : $\mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right)$.


Partie A : Conjecture graphique


Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3\left(x^2+x^3\right)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
\[ \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7.0}{7.0}{EXP(x)} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)} \end{pspicture*} \]


À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.


Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique


    1. Étudier selon les valeurs de $x$, le signe de $x^2+x^3$.
    2. En déduire que l'équation (E)n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.
    3. Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).
  2. On considère la fonction $h$, définie pour tout nombre réel de $]-1~;~0[\cup]0~;~+\infty[$ par :
    \[h(x)=\ln 3+\ln\left(x^2\right)+\ln(1+x)-x.\]

    Montrer que, sur $]-1~;~0[\: \cup\: ]0~;~+\infty[$, l'équation (E) équivaut à $h(x) = 0$.
    1. Etudier les limites de $h$ en $-1$, $0$ et $+\infty$.
    2. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$, on a: $h'(x)=\dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x + 1)}$
    3. Déterminer les variations de la fonction $h$.
    4. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x)=0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
    5. Conclure quant à la conjecture de la partie A.

Correction exercice 15
(Bac S, Centres étrangers 2012, 6 points)
Partie A: Conjecture. Les solutions de l'équation (E) sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Il semble y en avoir 2. L'une comprise entre $-1$ et $0$, l'autre entre 0 et 1.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
    1. $\forall x \in \R,x^2 + x^3 = x^2(1+x)$, avec $x^2\geqslant0$ et $1+x\geqslant0\iff x\geqslant-1$, ainis
      \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ &$-\infty$ && $-1$ && $0$ && $+\infty$\\\hline $x^2$ && $+$ &$|$&$+$&\zb&$+$& \\\hline $1+x$ && $-$ &\zb&$+$&$|$&$+$& \\\hline $x^3+x^2$ && $-$ &\zb&$+$&\zb&$+$& \\\hline \end{tabular}\]

    2. On a donc, pour tout $x\leqslant-1$, $3(x^3+x^2)\leqslant0$. Or, $e^x>0$ pour tout $x$ réel, et donc il ne peut pas y avoir de solution $x\leqslant -1$ à (E)
    3. $ \mathrm{e}^{0} = 1 $ et $ 3 \times (0^2 + 0^3)=0 $. Donc $0$ n'est pas solution de (E).

  2. $\forall x \in ]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[, \begin{array}[t]{lcl} \mbox{(E)} & \iff & e^x=3(x^2+x^3) \\ &\iff & \ln e^x=\ln\left( 3(x^2+x^3)\right) \\ &\iff & x=\ln3+\ln\left( x^2( 1+x) \right) \\ &\iff & x=\ln3+\ln\left( x^2 \right) + \ln\left(1+x\right) \\ &\iff & \ln3 + \ln\left( x^2 \right) + \ln\left( 1+x\right) -x = 0 \iff h(x) = 0 \\ \end{array} $
    1. En $-1$: $\dsp\lim_{x\to-1}\ln(x^2)=\ln1=0$, et, par composition, $\dsp\lim_{x\to-1}\ln(1+x)=\lim_{X\to0}\ln(X)=-\infty$, et alors, par additions, $\dsp\lim_{x\to-1}h(x)=-\infty$.

      En $0$: par composition, $\dsp\lim_{x\to0}\ln(x^2)=\lim_{\scriptsize\begin{array}{l}X\to0\\X>0\enar}\ln(X)=-\infty$, et $\dsp\lim_{x\to0}\ln(1+x)=\ln1=0$.
      Ainsi, par addition, $\dsp\lim_{x\to0}h(x)=-\infty$.

      En $+\infty$: On a, pour tout $x>0$, $h(x)=\ln3-x\Bigl[-2\dfrac{\ln(x)}{x}-\dfrac{\ln(1+x)}{x}+1\Bigr]$.
      De plus, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$, et donc aussi
      $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{x} =\dfrac{\ln\left( x\left( 1+\dfrac1x\rp\rp}{x}= \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}+\dfrac{\ln\lp1+\dfrac1x\rp}{x}=0$,
      On a alors, par addition et produit, $\dsp\lim_{x\to+\infty}h(x)=-\infty$.
    2. $h$ est une somme et composée de fonctions de référence dérivables, donc $h$ est bien dérivable sur $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$.
      Plus précisément, pour tout réel $x\in]-1;0[\cup]0;+\infty[,$ on a $h(x)=\ln3+\ln\left( u(x)\rp+\ln\left( v(x)\rp-x$,
      avec $u(x)=x^2$, donc $u'(x)=2x$, et $v(x)=1+x$, donc $v'(x)=1$, et ainsi,
      $h'(x) = 0 + \dfrac{u'(x)}{u(x)}+\dfrac{v'(x)}{v(x)}-1 =\dfrac{2x}{x^2} + \dfrac{1}{x+1}-1 =\dfrac{2(x+1)+x-x(x+1)}{x(x+1)} =\dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x + 1)}.$
    3. Le numérateur de $h'(x)$ est un trinôme du second degré qui a pour discriminant $ \Delta =12>0 $ et qui admet donc deux racines $x_1=\dfrac{-2+2 \sqrt{3}}{-2} = 1-\sqrt{3} $ et $ x_2 = 1+\sqrt{3} $.
      Le dénominateur est aussi un trinôme du second degré dont les racines sont mises en évidence: $0$ et $-1$.

      \[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-1$ && $1-\sqrt{3}$ && $0$&& $ 1+\sqrt{3} $&&$+\infty$\\\hline $-x^2+2x+2$ && $-$ & $0$ && $+$ & &$0$ &$-$&\\\hline $x(x+1)$ & $0$ && $-$&&$0$ & &$+$ &&\\\hline $h'(x)$ & $\mid\mid$ & $+$ & $0$ &$-$ &$\mid\mid$&$ + $ &$ 0 $ &$-$& \\\hline &&&&&&&&&\\ $h$& \psline(0,.8)(0,-.6)\,\psline(0,.8)(0,-.6)& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.2,-.3)(.7,.4) && \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.7,.4)(.3,-.3) & \psline(0,.8)(0,-.6)\,\psline(0,.8)(0,-.6)& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.2,-.3)(.7,.4) && \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.7,.4)(.3,-.3) & \\ &\qquad\ \scriptsize$-\infty$\hspace*{-2em}&&&\quad\scriptsize$-\infty$\hspace*{-2em} &\qquad\ \scriptsize$-\infty$\hspace*{-2em}&&&\quad\scriptsize$-\infty$\hspace*{-3em}& \\\hline \end{tabular}\]


      • Sur l'intervalle $ ]-1;0[ $, $h(1-\sqrt{3})$ est un maximum pour $h$. Or $h(1-\sqrt{3})<0$ donc l'équation $h(x)=0 $ n'a pas de solution sur $]-1;0[$. C'est une première contradiction avec la conjecture de la partie A.
      • Sur l'intervalle $ ]0 ~;~ 1+\sqrt{3}[ $ la fonction $h$ est dérivable, donc continue, strictement croissante, et $0$ est compris entre $\dsp\lim_{x \to 0 }h(x)$ et $h\lp1+\sqrt{3}\rp$, d'après le théorème de la bijection, l'équation $h(x)=0 $ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;1+\sqrt{3}[$.
        La calculatrice donne: $h(0,61)\simeq-0,02<0$ et $h(0,62)\simeq0,24>0$, et donc $0,61<\alpha<0,62$. On trouve de même que $0,618 < \alpha < 0,619$ Une valeur approchée de $\alpha_1$, arrondie au centième est donc $0,62$.
      • De même sur $[1+\sqrt3;+\infty[$, où $h$ est continue et strictement décroissante, on aune unique solution $\beta$, avec, à l'aide de la calculatrice, $\beta\simeq7,12$
    5. La conjecture émise à la partie A était fausse: il y a bien deux solutions mais pas là où on les pensait.



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Exercice 16: Bac 2013 - Fonction avec log, dérivée, limites, TVI, algorithme, intégrale

Bac S, 20 juin 2013, 7 points
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé , la courbe représentative d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle .


On dispose des informations suivantes :
  • les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1 , 0), (1 , 2), (0 , 2);
  • la courbe passe par le point B et la droite (BC) est tangente à en B;
  • il existe deux réels positifs et tels que pour tout réel strictement positif ,


    1. En utilisant le graphique, donner les valeurs de et .
    2. Vérifier que pour tout réel strictement positif , .
    3. En déduire les réels et .
    1. Justifier que pour tout réel appartenant à l'intervalle a le même signe que .
    2. Déterminer les limites de en 0 et en . On pourra remarquer que pour tout réel strictement positif, .
    3. En déduire le tableau de variations de la fonction .
    1. Démontrer que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
    2. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel de l'intervalle tel que . Déterminer l'entier tel que .
  4. On donne l'algorithme ci-dessous.



     

    1. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.



    2. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
    3. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de d'amplitude
  5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.
    1. Justifier que cela revient à démontrer que .
    2. En remarquant que l'expression de peut s'écrire , terminer la démonstration.

Correction exercice 16



    1. Comme , on a .
      De plus, est tangente à en , soit donc en . Comme est horizontale, son coeffient directeur est nul, ce qui est la définition même du nombre dérivé de en .
      On a donc ainsi .
    2. est de la forme , avec , soit , et , soit .
      Ainsi, , et donc, pour tout ,


    3. En déduire les réels et .
      , or d'après 1.a., et donc on a directement .
      , or d'après 1.a., et donc on a aussi .
      On a donc finalement , et pour tout , .
    1. D'après 1.b., on a pour tout , .
      Comme et , a donc le même signe que .
    2. Limite en :   , et ,
      d'où par produit des limites, .
      Limite en :    Pour tout réel , .
      , et, par croissance comparée en l'infini ,
      d'où, par addition des limites, .
    3. est du signe de , or , car la fonction est strictement croissante sur .

    1. La fonction est continue et strictement croissante sur , avec et .
      On en déduit donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe un unique tel que .
    2. A l'aide de la calculatrice (par balayage, avec un tableau de valeurs par exemple), on a , , , , et . Ainsi, , car est strictement décroissante sur . L'entier recherché est donc .

    1.  



    2. Cet algorithme affiche les valeurs et (les dernières valeurs prises par et ).
      Ces valeurs sont les bornes d'un encadrement de d'amplitude inférieure ou égale à .
    3. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de d'amplitude

      Pour toruver un encadrement de plutôt que de , on débute par l'encadrement et (d'après la question 3.b..
      De plus, comme est décroissante sur , donc sur , on doit aussi modifier le test " en "".
      L'algorithme devient ainsi (il y d'autres possibilités menant au même résultat):



  5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.
    1. L'aire du rectangle vaut .
      Soit le point d'intersection de avec l'axe des abscisses. On cherche alors à montrer que

      est l'abscisse du point tel que


      Le problème considéré revient donc bien à montrer que .
    2. On a .
      Ainsi, .
      est une primitive de , tandis que est de la forme , avec , et ainsi, est une primitive de .
       
      On a donc,

      ce qui montre donc bien la propriété souhaitée.



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Exercice 17: Bac 2013: ROC, limites, asymptote oblique, suite

Le but de l'exercice est l'étude de la suite définie par son premier terme , puis pour tout entier , .
 
Partie A. Restitution organisée des connaissances.
On rappelle que .
 
Montrer que .
 
Partie B. On considère la fonction définie sur par .
On note sa courbe représentative.
  1. Soit la fonction définie sur par .
    Montrer que la fonction est négative sur et positive sur .
    1. Montrer que pour tout , .
    2. En déduire le sens de variation de .
    3. Montrer que la droite d'équation est une asymptote à la courbe en .
    4. Etudier la position de la courbe par rapport à la droite .


Partie C.
  1. Que peut-on dire de la suite si ?
  2. On suppose que .
    1. Montrer que pour tout entier , .
    2. On note la fonction définie sur par .
      Donner le signe de . En déduire le sens de variation de .
    3. Déduire de ce qui précède que la suite est convergente et donner sa limite.
  3. On suppose que . Dans quel intervalle se trouve alors ?
    Que peut-on alors en déduire quant au sens de variation de et à sa convergence ?

Correction exercice 17
(Bac 2013, métropole)
Partie A. ROC. On pose . Ainsi,
et donc, , par quotient des limites.

Partie B. On considère la fonction définie sur par .
  1. Soit la fonction définie sur par .
    Pour , on a , et donc, , et comme , on a alors .
    Pour , et , d'où .
    Remarque: on peut tout aussi bien dériver et étudier son sens de variation et montrer ainsi que  est le minimum de sur .
    1. Pour tout , , avec et donc,
      Ainsi, , soit, pour ,
    2. D'après les deux questions précédentes, on a donc que estr strictement croissante sur et strictement croissante sur .
    3. , et donc, par croissance comparée (ou la partie A.), on a , et ainsi, est une asymptote à la courbe en .
    4. .
      Pour , , et donc est au-dessus de . Pour , , et donc, est au-dessous de .


Partie C.
  1. Si , alors , et donc de même , … Si , la suite est constante et égale à .
  2. On suppose que .
    1. Montrons par récurrence que pour tout entier , .
      La propriété est initialement vraie car on suppose justement que .
      Hérédité: Supposons docn que pour un entier , on ait .
      Alors, comme est strictement croissante sur avec , on a donc, , et la propriété est encore vraie au rang .
       
      Finalement, d'après le principe de récurrence, pour tout entier , .
    2. est positif lorsque , et est négatif lorsque .
      Ainsi, comme pour tout entier , , on a et ainsi la suite est décroisssante.
    3. D'après de ce qui précède que la suite est décroissante et minorée par : elle est donc convergente vers une limite .
      D'après le théorème du point fixe, on a alors, .
  3. Si , alors , soit .
    Ainsi, toute l'étude et les résultats précédents sont encore vrais à partir de : est décroissante et converge vers .



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Voir aussi:
ccc