Calculs de fonctions dérivées - Fonction logarithme népérien ln

Exercices corrigés et détaillés

Rappel des formules

Formules de dérivation du logarithme népérien ln

Faut-il rappeler les formules de dérivation de la fonction ln ?

Formules qu'on ajoute aux autres formules générales de dérivations:

Forumles générales de dérivation des fonctions

Faut-il rappeler les formules générales de dérivation: fonctions usuelles et opérations sur les dérivées ?

et sans oublier, bien sûr, les règles de calcul algébrique sur l'exponentielle (et plus généralement les puissances):

Propriétés algébriques de l'exponentielle

Faut-il rappeler les formules de calcul algébrique du logarithme ?

Exercices corrigés: calculs de fonctions dérivées

Calculer l'expression f '(x) des fonctions dérivées dans tous les cas suivants.
Écrire la fonction dérivée sous la forme la plus "simplifiée" possible: une seule fraction au plus (même dénominateur …), et une expression la plus factorisée possible.

f (x) = 3ln(x)
f '(x) = 3x
On a un produit par une constante f = kv avec avec k = 3 et v = ln(x) donc v' = 1x et alors f ' = ku' soit,
f '(x) = 3×1x = 3x
f (x) = ln(3x)
f '(x) = 1x
f(x) = ln(x²)
f '(x) = 2x
On peut dériver f = ln(u) avec u = x² donc u' = 2x et alors f ' = u'/u soit f '(x)= 2xx² = 2x

Autre méthode, et plus simplement, on a f(x) = 2 ln(x) et donc, f '(x) = 2×1x = 2x
f(x) = ln(5x+2)
f '(x) = 55x+2
On dérive f = ln(u) avec u = 5x + 2 donc u' = 5 et alors f ' = u'/u soit f '(x) = 55x + 2
f(x) = ln1/x
f '(x) = − 1x
On peut dériver f = ln(u) ou plus judicieusement (et simplement) écire tout d'abord que f(x) = − ln(x) = −1 × ln(x) et alors f '(x) = −1×1x = −1x
f(x) = ln(x)
f '(x) = 12x
f (x) = x ln(x)
f '(x) = 1 + ln(x)
On a un produit f = uv avec u = x donc u' = 1 et v = ln(x) donc v' = 1x et alors f ' = u'v + uv' soit,
f '(x) = 1×ln(x) + x ×1x = ln(x) + 1
f (x) = 2ln(x) + 1
f '(x) = −2x(ln(x) + 1)²
On peut dériver un quotient car f s'écrit sous la forme f = 2× 1 u avec u(x) = ln(x) + 1 donc u'(x) = 1x + 0
On a alors f ' = 2×−u'u² soit
f '(x) = 2×−1x(ln(x) + 1)²
soit aussi
f '(x) = −2 x(ln(x) + 1)²
f (x) = ln(x)x
f '(x) = 1 − ln(x)x²
On dérive un quotient f = uv avec u(x) = ln(x) donc u'(x) = 1x et v(x) = x donc v'(x) = 1.
On a alors f ' = u'v − uv'v² soit
f '(x) = 1x× x − ln(x)×1 x²
soit aussi,
f '(x) = 1 − ln(x)x²
f (x) = ln(e^x + 1 )
f (x) = e^xe^x + 1
On dérive f = ln(u) avec u = e^x + 1 donc u' = e^x et alors f ' = u'/u soit
f '(x)= e^xe^x + 1
f(x) = ln(1+ln(x))
f '(x) = 1x(1+ln(x))
On dérive f = ln(u) avec u = 1 + ln(x) donc u' = 1/x et alors f ' = u'/u soit
f '(x)= 1/x1 + ln(x) = 1x(1+ln(x))
f (x) = e^ln(x)+2
f '(x) = e²

Voir aussi: