Logarithme

Propriétés principales et exercices corrigés


Logarithme népérien: définition et premières propriétés

Définition

Définition de la fonction logarithme népérien
Pour tout nombre a strictement positif, on appelle logarithme népérien, noté ln(a) de a l'unique solution réelle de l'équation ex = a .
Autrement dit, on a, pour tout a>0,
ex = a  ⇔ x = ln(a)
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur R+* = ] 0;+∞[ qui, à tout réel x>0, associe le nombre noté ln(x) dont l'exponentielle est x.

La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Premières propriétés du logarirthme népérien:
  • Pour tout réel x>0, et tout réel y, on a x = ey ⇔ ln(x) = y
  • Pour tout réel x>0, on a eln(x)=x
  • Pour tout réel x, on a ln(ex) = x
  • ln(1) est le nombre dont l'exponentielle vaut 1, donc ln(1) = 0 ⇔ 1 = e0
  • ln(e) est le nombre dont l'exponentielle vaut e, donc ln(e) = 1 ⇔ e = e1

Courbe représentative

Premières propriétés du logarithme népérien:
Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

Votre navigateur ne semble pas assez récent pour afficher ce graphique...


Exercice
Résoudre:
  • ex = 5

    ex = 5 ⇔ x = ln(5) ≃ 1,609
  • ln(x) = −5

    ln(x) = −5 ⇔ x = e−5 ≃ 0,0067
  • ln(2x−1) = −2

    ln(2x−1) = −2 ⇔ 2x−1 = e−2 ⇔ x = e−2+1/2≃0,568
  • ln(1+x) = 100

    ln(1+x) = 100 ⇔ 1+x = e100 ⇔ x = e100−1≃2,69.1043

Exercice
Étudier le signe des expressions (dresser le tableau de signe):
  • ln(x)

    Résultat à savoir par cœur !
    Tout d'abord, l'expression est définie lorsque x>0.
    Ensuite pour x>0 on a, en appliquant l'exponentielle qui est strictement croissante donc ne change pas l'ordre, ln(x)≥0 ⇔ x≥e0=1
    En résumé, on a donc

    x 0 1 +∞
    ln(x) − 0 +

    Voir aussi la courbe du logarithme népérien ci-dessus qui est strictement croissante avec ln(1)=0.
  • ln(x−1)

    Tout d'abord, l'expression est définie lorsque x−1>0 ⇔ x>1.
    Ensuite, pour x>1, on cherche à résoudre l'inéquation ln(x−1)≥0, et on peut appliquer l'exponentielle, qui est strictement croissante donc ne change pas l'ordre, et on obtient ln(x−1)≥0 ⇔ x−1≥e0=1 ⇔ x≥2
    En résumé, on a donc

    x 1 2 +∞
    ln(x−1) − 0 +
  • ln x2/5x − 6

    De même qu'à la question précédente, on doit commencer par s'assurer que l'expression existe; c'est le cas lorsque x25x − 6>0 Comme x2≥0, il faut donc que 5x−6>0 ⇔ x>6/5

    On cherche ensuite à résoudre ln x2/5x − 6 ≥0 soit, en appliquant l'exponentielle qui est strictement croissante donc ne change pas l'ordre:
    x25x − 6≥e0=1 ⇔ x25x − 6−1≥0 soit, sur le même dénominateur, x2−5x+65x − 6≥0
    On détermine alors le signe du trinôme du second degré au numérateur de discriminant Δ = 1>0 et qui admet donc deux récines réelles distinctes x1=2 et x2=3 et on a donc les signes

    x −∞ 6/5 2 3 +∞
    x2−5x+6 + + 0 − 0 +
    5x−6 − + | + | +
    x2−5x+65x − 6 − + 0 − 0 +


    En résumé, il nous faut donc avoir 5x−6>0 ⇔ x>6/5 et on a les signes:

    x 6/5 2 3 +∞
    ln x25x − 6 + 0 − 0 +

Propriétés algébriques

Théorème: Relation fondamentale du logarithme
Pour tous réels a>0 et b>0, on a
ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Démo...
Corollaires:
Pour tous nombres réels a>0 et b>0, et tout entier naturel n on a
  • ln 1a = − ln (a)
  • ln ab = ln (a) − ln (b)
  • ln(an) = n ln(a)
  • ln(a−n) = −n ln(a)
  • ln(a) = 12 ln(a)

Exercice
Compléter les factorisations:
  • Exprimer ln(2) + ln(4) + ln(8) + ln(16) en fonction de ln(2)
    ln(2) + ln(4) + ln(8) + ln(16) = ln(2) + ln(22) + ln(23) + ln(24) = ln(2) +2ln(2) + 3ln(2) + 4ln(2) = 10 ln(2)
  • Exprimer ln(3) + ln(27) + ln(81) en fonction de ln(3)
    ln(3) + ln(27) + ln(81) = ln(3) + ln(33) + ln(34) = ln(3) +3ln(3) + 4ln(3) = 8 ln(3)
  • Simplifier les expressions ln(52×25) et ln(12(36)2 )
    ln(52×25) = ln(52) + ln(25) = 2ln(5) + 5ln(2)
    et
    ln(12(36)2) = ln(12) + ln((36)2) = ln(4×3) + 2ln(36) = ln(4) + ln(3) + 2×6 ln(3) = 2ln(2) + 13 ln(3)
  • Exprimer en fonction de ln(x) les expressions suivantes:
    • A(x) = ln(3x2)
    • B(x) = ln(x) + ln(x2)
    • C(x) = ln(x+4) − ln(4x+x2)
    • D(x) = ln(x3−x2)−ln(x−1)
    • E(x) = ln 1x − ln(2x)
    • A(x) = ln(3) + 2ln(x)
    • B(x) = 12ln(x) + 2ln(x) = 52ln(x)
    • En factorisant dans le deuxième logarithme:
      C(x) = ln(x+4) − ln(x(4+x)) = ln(x+4) − (ln(x) +ln(4+x)) = − ln(x)
    • En factorisant là aussi dans le premier logarithme:
      D(x) = ln(x2(x−1)) − ln(x−1) = ln(x2) + ln(x−1) − ln(x−1) = 2ln(x)
    • E(x) = −ln(x) − (ln(2) + ln(x)) = −2ln(x)−ln(2)

Exercice
Résoudre dans R, puis dans R, les inéquations suivantes:
  • 3n≥125
    On applique la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante et donc ne change pas l'ordre: 3n≥125 ⇔ nln(3)≥ln(125) puis en divisant par ln(3)≃1,1>0, on obtient n≥ln(125)ln(3)
    Dans R, l'inéquation est donc vraie pour n≥ln(125)ln(3), et comme ln(125)ln(3)≃4,39, l'inéquation est vraie dans N pour n≥5.
  • 5n≤10 000
    On applique la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante et donc ne change pas l'ordre: 5n≤10 000 ⇔ nln(5)≤ln(10000) puis en divisant par ln(5)≃1,6>0, on obtient n≤ln(10000)ln(5)
    Dans R, l'inéquation est donc vraie pour n≤ln(10000)ln(5), et comme ln(10000)ln(5)≃5,7, l'inéquation est vraie dans N pour n≤5, c'est-à-dire seulement pour n=0, n=1, ..., n=5.
  • 0,5n≤0,001
    On applique la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante et donc ne change pas l'ordre: 0,5n≤0,001 ⇔ nln(0,5)≤ln(0,001) puis en divisant par ln(0,5)≃−0,69<0 (donc en changeant l'ordre), on obtient n≥ln(0,001)ln(0,5)
    Dans R, l'inéquation est donc vraie pour n≥ln(0,001)ln(0,5), et comme ln(0,001)ln(0,5)≃9,9, l'inéquation est vraie dans N pour n≥10.
  • 2n−5>3000
    On applique la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante et donc ne change pas l'ordre: 2n−5>3000 ⇔ (n−1)ln(2)>ln(3000) puis en divisant par ln(2)≃0,69>0, on obtient n−1>ln(3000)ln(2) et donc n>ln(3000)ln(2)+1
    Dans R, l'inéquation est donc vraie pour n>ln(3000)ln(2)+1, et comme ln(3000)ln(2)+1≃12,5, l'inéquation est vraie dans N pour n≥13.
  • 1−0,3n>0,95
    On isole d'abord la puissance: 1−0,3n>0,95 ⇔ 0,3n<1−0,95=0,05, puis on procède comme pour les inégalités précédentes.
    On applique la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante et donc ne change pas l'ordre: 0,3n<0,05 ⇔ nln(0,3)<ln(0,05) puis en divisant par ln(0,3)≃−1,2<0 (donc aussi en changeant l'ordre), on obtient n>ln(0,05)ln(0,3)
    Dans R, l'inéquation est donc vraie pour n>ln(0,05)ln(0,3), et comme ln(0,05)ln(0,3)≃2,5, l'inéquation est vraie dans N pour n≥3.
  • 4n5n−1 >1
    On applique le logarithme népérien, qui est strictement croissante et donc ne change pas l'ordre:
    4n5n−1>1 ⇔ ln4n5n−1 > ln(1) = 0 ⇔ ln(4n)−ln(5n−1)>0 ⇔ nln(4)−(n−1)ln(5)>0 ⇔ n(ln(4)−ln(5))+ln(5)>0 ⇔ n(ln(4)−ln(5))>−ln(5)
    puis, en divisant par ln(4)−ln(5)<0, donc en changeant l'ordre, on obtient n < −ln(5)ln(4)−ln(5) ≃ 7,2 L'inéquation est donc vraie dans N pour n≤7.

Exercice
Soit (un) une suite géométrique de raison q=1,5 et de premier rang u0=0,2.
Quel est le sens de variation de (un) ?
Quelle est sa limite ?
À partir de quel rang a-t-on un>120
On a u0=0,2>0 et, puisque la suite est géométrique, pour tout entier n, un+1=1,5un>un: la suite est donc strictement croissante.
Comme u0=0,2>0 et qu'on a la raison q=1,5>1, on sait donc que la suite (un) tend vers +∞.
Comme la suite est géométrique, on a, pour tout entier n,
un = u0qn = 0,2×1,5n
et on cherche alors le rang n à partir duquel on a
un>120 ⇔ 0,2×1,5n >120

On isole alors la puissance, puis on applique alors la fonction logarithme, strictement croissante donc conservant l'ordre, et enfin on divise par ln(1,5)≃0,4>0:
un>120 ⇔ 0,2×1,5n >120 ⇔ 1,5n >120/0,2 = 600 ⇔ ln(1,5n) > ln(600) ⇔ nln(1,5) > ln(600) ⇔ n > ln(600)/ln(1,5)≃15,8
On en déduit donc que un>120 à partir du rang n = 16.


Exercice
Je possède 1000 euros sur un compte en banque. Chaque année ce compte me rapporte 4% d'intérêts (intérêts composés: chaque année le capital de l'année précédente est augmenté de 4%).
Au bout de combien d'années le montant sur ce compte aura-t-il doublé ? triplé ?
Augmenter une quantité de 4% équivaut à la multiplier par 1,4. Au bout d'un an, mon nouveau capital est donc de 1,04×1000 = 1400 euros, puis l'année d'après de 1,04×1400 …
On note Cn le capital acquis chaque année à partir de mon dépôt de 1000 euros.
Ainsi, C0=1000, puis C1 = 1400 …
On multiplie ainsi d'une année sur l'autre par q = 1,04, soit qn+1 = 1,04 qn, ce qui montre que cette suite ainsi définie est géométrique.
On a alors que, pour tout entier n,
un = u0qn = 1000×1,04n
On cherche maintenant quand le capital aura doublé, donc atteint 2000 euros, soit
un ≥ 2000 ⇔ 1000×1,04n ⇔ 1000×1,04n≥2000 ⇔ 1,04n≥2 ⇔ ln(1,04n)≥ln(2) ⇔ nln(1,04)≥ln(2)
et on trouve donc, en divisant par ln(1,04)≃0,04>0,
n≥ln(2)/ln(0,04)≃17,7
Ainsi, le capital aura doublé au bout de 18 ans.

En procédant de même, on trouve que le capital aura triplé au bout de
n≥ln(3)/ln(0,04)≃28,01
soit après 28 ans.


Étude de la fonction ln

Propriété:
La fonction ln est continue et strictement croissante sur ]0;+∞[, avec, pour tout x>0,
ln'(x) = 1/x

Corollaires:
  1. La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[.
  2. Pour tous a>0 et b>0, on a
    • ln(a)=ln(b) ⇔ a = b
    • ln(a)<ln(b) ⇔ a < b
  3. La courbe de la fonction ln est concave.
  4.  limx0 ln(x) = −∞ et  limx+∞ ln(x) = +∞ En particulier, la droite d'équation x=0 (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe du logarithme.
  5. Pour toute fonction u strictement positive et dérivable, on a
    (ln(u))' = u'/u

Exercice
  1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C représentative de la fonction ln aux points d'abscisse 1 et e.
  2. Tracer dans un repère la courbe C et ses deux tangentes.
  3. Montrer que, pour tout réel x>0, ln(x)≤x−1.
  1. Une équation de la tangente à la courbe C représentative de la fonction f au point d'abscisse f est
    y = f'(a)(x−a) + f(a)
    soit ici, avec f(x)=ln(x), donc f'(x)=1/x, et au point d'abscisse a=1:
    y = 1/1(x−1) + ln(1) = x−1
    et de même au point d'abscisse a = e:
    y = 1/e(x−e) + ln(e) = 1/ex
  2. Votre navigateur ne semble pas assez récent pour afficher ce graphique...
  3. On peut soit poser la fonction φx↦ln(x)−(x−1), puis l'étudier: dérivée, signe de la dérivée, sens de variation puis trouver que le maximum est négatif.
    On peut aussi utliser la convexité. En effet, on a vu que y=x−1 est l'équation de la tangente à la courbe du ln au point d'abscisse 1.
    Comme on sait que la fonction ln est concave, sa courbe est au-dessous de ses tangentes, ce qui signifie exactement l'inégalité souhaitée.


Exercice
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes:
  1. f(x) = ln(x2)

    On peut dériver f = ln(u) avec u = x2 donc u' = 2x et alors f ' = u'/u soit f '(x)= 2xx2 = 2x

    Autre méthode, et plus simplement, on a f(x) = 2 ln(x) et donc, f '(x) = 2×1x = 2x


  2. g(x) = ln(5x+2)

    On dérive g = ln(u) avec u = 5x + 2 donc u' = 5 et alors g ' = u'/u soit g '(x) = 55x + 2


  3. h(x) = ln1/x

    On peut dériver h = ln(u) ou plus judicieusement (et simplement) écire tout d'abord que h(x) = − ln(x) = −1 × ln(x) et alors h '(x) = −1×1x = −1x


  4. k(x) = ln(x)

    On peut dériver k = ln(u) avec u = x donc u' = 1/2x et alors k ' = u'/u soit
    k '(x)= 1/2xx = 12xx = 12x


    Autre méthode, et bien plus simplement, on a
    k(x) = ln(x) = 12ln(x)
    et donc,
    k '(x) = 12×1x = 12x


  5. l (x) = ln(ex + 1 )

    On dérive l = ln(u) avec u = ex + 1 donc u' = ex et alors l' = u'/u soit
    l'(x)= exex + 1




Exercice
Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition de
f : x ↦ ln(x) + 2/ln(x) − 1
Il faut tout d'abord préciser l'ensemble de définition de f, qui est défini pour pour x>0 pour les logarithmes, et aussi pour ln(x)−1≠0 ⇔ ln(x)≠1 ⇔ x≠e1=e.
L'ensemble de définition de f est donc ]0;e[∪]e;+∞[, et il ya trois limites à étudier: en 0, en e et en +∞

En 0: on a  limx0 ln(x) = −∞ et on est donc face à une forme indéterminée ∞/∞.
On factorise par le terme prépondérant:
f (x) = ln(x) + 2/ln(x) − 1 = ln(x) 1 + 2/ln(x) / ln(x) 1 − 1/ln(x) = 1 + 2/ln(x) / 1 − 1/ln(x)
où
 limx0 1 + 2/ln(x) =  limx0 1 − 1/ln(x) = 1
et donc
 limx0 f(x) = 1

En +∞: comme  limx+∞ ln(x) = ∞ on a la même forme indéterminée que précédemment, et avec la factorisation précédente, on trouve à nouveau que
 limx∞ f(x) = 1
ce qui signifie au passage que la droite d&apo;équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞.
En e: Pour le numérateur on a simplement  limxe ln(x) + 2 = 3 tandis que  limxe ln(x) − 1 = 0 et ainsi la limite du quotient est infinie et il ne reste plus qu'à déterminer le signe.
On vu que le numérateur tend vers ln(3)>0.
Par ailleurs comme la fonction ln est strictement croissante, on a x<e ⇔ ln(x)<ln(e)=1 ⇔ ln(x)−1<0 d'où les signes
x 0 e +∞
ln(x)−1 − 0 +

et on donc les limites:
    lim xe x<e f(x) = −∞
et
    lim xe x>e f(x) = +∞
ce qui signifie graphiquement que la droite d&apo;équation x = e est asymptote verticale à la courbe de f.


Exercice
Étudier la fonction (variation et limites) f définie sur R+* par
f(x) = 1/x − ln(x)
f est une soustraction de fonctions de référence, et on a directement
f(x) = −1/x2 − 1/x
qu'on s'empresse d'écrire sur le même dénominateur pour pouvoir en étudier le signe:
f '(x) = −1/x2 − x/x2 = −1+x/x2
Comme on est sur R+*, on a en particulier x>0 et donc 1+x>1>0, et donc f '(x)<0.
Ainsi, f est strictement décroissante sur R+*.

On a deux limites à étudier: en 0 et en +∞.
En 0: pour x0, avec x>0, on a
    lim x0 x>0 1/x = +∞
et
    lim x0 x>0 ln(x) = +∞
d'où, par addition des limites,
    lim x0 x>0 f(x) = +∞

En +∞: on a  limx+∞ 1/x = 0 et  limx+∞ ln(x) = +∞ d'où, par soustraction des limites,  limx+∞ f(x) = −∞


Limites et croissances comparées

Limites de la fonction logarithme

On rappelle les limites du logarithme népérien, voir aussi la courbe du logarithme:
Propriété:
 limx0 ln(x) = −∞ et  limx+∞ ln(x) = +∞

Croissances comparées du logarithme et des polynômes

La fonction logarithme népérien a une croissance "peu rapide", par rapport aux fonctions puissances xn.
Plus précisément, cela s'exprime dans le théorème de croissances comparées, analogue au théorème de croissances comparées pour l'exponentielle
Théorème: croissances comparées
 limx0 x ln(x) = 0 et  limx0 ln(x)/x = 0
Plus généralement, pour tout entier naturel n non nul, on a les limites  limx0 xn ln(x) = 0 et  limx0 ln(x)/xn = 0

Logarithme décimal

Lire le chapitre suivant

Voir aussi:
LongPage: h2: 5 - h3: 4