Logarithme

Propriétés principales et exercices corrigés

Logarithme népérien: définition et premières propriétés

Définition

Définition de la fonction logarithme népérien

Pour tout nombre a strictement positif, on appelle logarithme népérien, noté ln(a) de a l'unique solution réelle de l'équation e^x = a .
Autrement dit, on a, pour tout a>0,

e^x = a ⇔ x = ln(a)

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur R₊^* = ] 0;+∞[ qui, à tout réel x>0, associe le nombre noté ln(x) dont l'exponentielle est x.

La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Premières propriétés du logarirthme népérien:

Pour tout réel x>0, et tout réel y, on a x = e^y ⇔ ln(x) = y
Pour tout réel x>0, on a e^ln(x)=x
Pour tout réel x, on a ln(e^x) = x
ln(1) est le nombre dont l'exponentielle vaut 1, donc ln(1) = 0 ⇔ 1 = e⁰
ln(e) est le nombre dont l'exponentielle vaut e, donc ln(e) = 1 ⇔ e = e¹

Courbe représentative

Premières propriétés du logarithme népérien:

Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

Exercice

Résoudre:

e^x = 5

e^x = 5 ⇔ x = ln(5) ≃ 1,609
ln(x) = −5

ln(x) = −5 ⇔ x = e⁻⁵ ≃ 0,0067
ln(2x−1) = −2

ln(2x−1) = −2 ⇔ 2x−1 = e⁻² ⇔ x = e⁻²+1/2≃0,568
ln(1+x) = 100

ln(1+x) = 100 ⇔ 1+x = e¹⁰⁰ ⇔ x = e¹⁰⁰−1≃2,69.10⁴³

Exercice

Étudier le signe des expressions (dresser le tableau de signe):

ln(x)

Résultat à savoir par cœur !
Tout d'abord, l'expression est définie lorsque x>0.
Ensuite pour x>0 on a, en appliquant l'exponentielle qui est strictement croissante donc ne change pas l'ordre, ln(x)≥0 ⇔ x≥e⁰=1
En résumé, on a donc

x 0 1 +∞

ln(x) − 0 +

Voir aussi la courbe du logarithme népérien ci-dessus qui est strictement croissante avec ln(1)=0.
ln(x−1)

Tout d'abord, l'expression est définie lorsque x−1>0 ⇔ x>1.
Ensuite, pour x>1, on cherche à résoudre l'inéquation ln(x−1)≥0, et on peut appliquer l'exponentielle, qui est strictement croissante donc ne change pas l'ordre, et on obtient ln(x−1)≥0 ⇔ x−1≥e⁰=1 ⇔ x≥2
En résumé, on a donc

x 1 2 +∞

ln(x−1) − 0 +

ln x²/5x − 6

De même qu'à la question précédente, on doit commencer par s'assurer que l'expression existe; c'est le cas lorsque x²5x − 6>0 Comme x²≥0, il faut donc que 5x−6>0 ⇔ x>6/5

On cherche ensuite à résoudre ln x²/5x − 6 ≥0 soit, en appliquant l'exponentielle qui est strictement croissante donc ne change pas l'ordre:
x²5x − 6≥e⁰=1 ⇔ x²5x − 6−1≥0 soit, sur le même dénominateur, x²−5x+65x − 6≥0
On détermine alors le signe du trinôme du second degré au numérateur de discriminant Δ = 1>0 et qui admet donc deux récines réelles distinctes x₁=2 et x₂=3 et on a donc les signes

x	−∞		6/5		2		3		+∞
x²−5x+6		+		+	0	−	0	+
5x−6		−		+	\|	+	\|	+
x²−5x+65x − 6		−		+	0	−	0	+

En résumé, il nous faut donc avoir 5x−6>0 ⇔ x>6/5 et on a les signes:

x	6/5				2		3		+∞
ln x²5x − 6				+	0	−	0	+

Propriétés algébriques

Théorème: Relation fondamentale du logarithme

Pour tous réels a>0 et b>0, on a

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Démo...

Corollaires:

Pour tous nombres réels a>0 et b>0, et tout entier naturel n on a

ln 1a = − ln (a)
ln aa = ln (a) − ln (b)
ln(aⁿ) = n ln(a)
ln(a⁻ⁿ) = −n ln(a)
ln(a) = 12 ln(a)

Exercice

Compléter les factorisations:

Exprimer ln(2) + ln(4) + ln(8) + ln(16) en fonction de ln(2)

ln(2) + ln(4) + ln(8) + ln(16) = ln(2) + ln(2²) + ln(2³) + ln(2⁴) = ln(2) +2ln(2) + 3ln(2) + 4ln(2) = 10 ln(2)
Exprimer ln(3) + ln(27) + ln(81) en fonction de ln(3)

ln(3) + ln(27) + ln(81) = ln(3) + ln(3³) + ln(3⁴) = ln(3) +3ln(3) + 4ln(3) = 8 ln(3)
Simplifier les expressions ln(5²×2⁵) et ln(12(3⁶)² )

ln(5²×2⁵) = ln(5²) + ln(2⁵) = 2ln(5) + 5ln(2)
et
ln(12(3⁶)²) = ln(12) + ln((3⁶)²) = ln(4×3) + 2ln(3⁶) = ln(4) + ln(3) + 2×6 ln(3) = 2ln(2) + 13 ln(3)
Exprimer en fonction de ln(x) les expressions suivantes:
- A(x) = ln(3x²)
- B(x) = ln(x) + ln(x²)
- C(x) = ln(x+4) − ln(4x+x²)
- D(x) = ln(x³−x²)−ln(x−1)
- E(x) = ln 1x − ln(2x)
- A(x) = ln(3) + 2ln(x)
- B(x) = 12ln(x) + 2ln(x) = 52ln(x)
- En factorisant dans le deuxième logarithme:
  C(x) = ln(x+4) − ln(x(4+x)) = ln(x+4) − (ln(x) +ln(4+x)) = − ln(x)
- En factorisant là aussi dans le premier logarithme:
  D(x) = ln(x²(x−1)) − ln(x−1) = ln(x²) + ln(x−1) − ln(x−1) = 2ln(x)
- E(x) = −ln(x) − (ln(2) + ln(x)) = −2ln(x)−ln(2)

Exercice

Résoudre dans R, puis dans R, les inéquations suivantes:

3ⁿ≥125

On applique la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante et donc ne change pas l'ordre: 3ⁿ≥125 ⇔ nln(3)≥ln(125) puis en divisant par ln(3)≃1,1>0, on obtient n≥ln(125)ln(3)
Dans R, l'inéquation est donc vraie pour n≥ln(125)ln(3), et comme ln(125)ln(3)≃4,39, l'inéquation est vraie dans N pour n≥5.
5ⁿ≤10 000

On applique la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante et donc ne change pas l'ordre: 5ⁿ≤10 000 ⇔ nln(5)≤ln(10000) puis en divisant par ln(5)≃1,6>0, on obtient n≤ln(10000)ln(5)
Dans R, l'inéquation est donc vraie pour n≤ln(10000)ln(5), et comme ln(10000)ln(5)≃5,7, l'inéquation est vraie dans N pour n≤5, c'est-à-dire seulement pour n=0, n=1, ..., n=5.
0,5ⁿ≤0,001

On applique la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante et donc ne change pas l'ordre: 0,5ⁿ≤0,001 ⇔ nln(0,5)≤ln(0,001) puis en divisant par ln(0,5)≃−0,69<0 (donc en changeant l'ordre), on obtient n≥ln(0,001)ln(0,5)
Dans R, l'inéquation est donc vraie pour n≥ln(0,001)ln(0,5), et comme ln(0,001)ln(0,5)≃9,9, l'inéquation est vraie dans N pour n≥10.
2ⁿ⁻⁵>3000

On applique la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante et donc ne change pas l'ordre: 2ⁿ⁻⁵>3000 ⇔ (n−1)ln(2)>ln(3000) puis en divisant par ln(2)≃0,69>0, on obtient n−1>ln(3000)ln(2) et donc n>ln(3000)ln(2)+1
Dans R, l'inéquation est donc vraie pour n>ln(3000)ln(2)+1, et comme ln(3000)ln(2)+1≃12,5, l'inéquation est vraie dans N pour n≥13.
1−0,3ⁿ>0,95

On isole d'abord la puissance: 1−0,3ⁿ>0,95 ⇔ 0,3ⁿ<1−0,95=0,05, puis on procède comme pour les inégalités précédentes.
On applique la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante et donc ne change pas l'ordre: 0,3ⁿ<0,05 ⇔ nln(0,3)<ln(0,05) puis en divisant par ln(0,3)≃−1,2<0 (donc aussi en changeant l'ordre), on obtient n>ln(0,05)ln(0,3)
Dans R, l'inéquation est donc vraie pour n>ln(0,05)ln(0,3), et comme ln(0,05)ln(0,3)≃2,5, l'inéquation est vraie dans N pour n≥3.
4ⁿ5ⁿ⁻¹ >1

On applique le logarithme népérien, qui est strictement croissante et donc ne change pas l'ordre:
4ⁿ5ⁿ⁻¹>1 ⇔ ln4ⁿ5ⁿ⁻¹ > ln(1) = 0 ⇔ ln(4ⁿ)−ln(5ⁿ⁻¹)>0 ⇔ nln(4)−(n−1)ln(5)>0 ⇔ n(ln(4)−ln(5))+ln(5)>0 ⇔ n(ln(4)−ln(5))>−ln(5)
puis, en divisant par ln(4)−ln(5)<0, donc en changeant l'ordre, on obtient n < −ln(5)ln(4)−ln(5) ≃ 7,2 L'inéquation est donc vraie dans N pour n≤7.

Exercice

Soit (u_n) une suite géométrique de raison q=1,5 et de premier rang u₀=0,2.
Quel est le sens de variation de (u_n) ?
Quelle est sa limite ?
À partir de quel rang a-t-on u_n>120

On a u₀=0,2>0 et, puisque la suite est géométrique, pour tout entier n, u_n+1=1,5u_n>u_n: la suite est donc strictement croissante.
Comme u₀=0,2>0 et qu'on a la raison q=1,5>1, on sait donc que la suite (u_n) tend vers +∞.
Comme la suite est géométrique, on a, pour tout entier n,

u_n = u₀qⁿ = 0,2×1,5ⁿ

et on cherche alors le rang n à partir duquel on a

u_n>120 ⇔ 0,2×1,5ⁿ >120

On isole alors la puissance, puis on applique alors la fonction logarithme, strictement croissante donc conservant l'ordre, et enfin on divise par ln(1,5)≃0,4>0:

u_n>120 ⇔ 0,2×1,5ⁿ >120 ⇔ 1,5ⁿ >120/0,2 = 600 ⇔ ln(1,5ⁿ) > ln(600) ⇔ nln(1,5) > ln(600) ⇔ n > ln(600)/ln(1,5)≃15,8

On en déduit donc que u_n>120 à partir du rang n = 16.

Exercice

Je possède 1000 euros sur un compte en banque. Chaque année ce compte me rapporte 4% d'intérêts (intérêts composés: chaque année le capital de l'année précédente est augmenté de 4%).
Au bout de combien d'années le montant sur ce compte aura-t-il doublé ? triplé ?

Augmenter une quantité de 4% équivaut à la multiplier par 1,4. Au bout d'un an, mon nouveau capital est donc de 1,04×1000 = 1400 euros, puis l'année d'après de 1,04×1400 …
On note C_n le capital acquis chaque année à partir de mon dépôt de 1000 euros.
Ainsi, C₀=1000, puis C₁ = 1400 …
On multiplie ainsi d'une année sur l'autre par q = 1,04, soit q_n+1 = 1,04 q_n, ce qui montre que cette suite ainsi définie est géométrique.
On a alors que, pour tout entier n,

u_n = u₀qⁿ = 1000×1,04ⁿ

On cherche maintenant quand le capital aura doublé, donc atteint 2000 euros, soit

u_n ≥ 2000 ⇔ 1000×1,04ⁿ ⇔ 1000×1,04ⁿ≥2000 ⇔ 1,04ⁿ≥2 ⇔ ln(1,04ⁿ)≥ln(2) ⇔ nln(1,04)≥ln(2)

et on trouve donc, en divisant par ln(1,04)≃0,04>0,

n≥ln(2)/ln(0,04)≃17,7

Ainsi, le capital aura doublé au bout de 18 ans.

En procédant de même, on trouve que le capital aura triplé au bout de

n≥ln(3)/ln(0,04)≃28,01

soit après 28 ans.

Étude de la fonction ln

Propriété:

La fonction ln est continue et strictement croissante sur ]0;+∞[, avec, pour tout x>0,

ln'(x) = 1/x

Corollaires:

La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[.
Pour tous a>0 et b>0, on a
- ln(a)=ln(b) ⇔ a = b
- ln(a)<ln(b) ⇔ a < b
La courbe de la fonction ln est concave.
lim_x0 ln(x) = −∞ et lim_x+∞ ln(x) = +∞ En particulier, la droite d'équation x=0 (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe du logarithme.
Pour toute fonction u strictement positive et dérivable, on a
(ln(u))^' = u'/u

Exercice

Déterminer une équation de la tangente à la courbe C représentative de la fonction ln aux points d'abscisse 1 et e.
Tracer dans un repère la courbe C et ses deux tangentes.
Montrer que, pour tout réel x>0, ln(x)≤x−1.

Une équation de la tangente à la courbe C représentative de la fonction f au point d'abscisse f est
y = f'(a)(x−a) + f(a)
soit ici, avec f(x)=ln(x), donc f'(x)=1/x, et au point d'abscisse a=1:
y = 1/1(x−1) + ln(1) = x−1
et de même au point d'abscisse a = e:
y = 1/e(x−e) + ln(e) = 1/ex
On peut soit poser la fonction φx↦ln(x)−(x−1), puis l'étudier: dérivée, signe de la dérivée, sens de variation puis trouver que le maximum est négatif.
On peut aussi utliser la convexité. En effet, on a vu que y=x−1 est l'équation de la tangente à la courbe du ln au point d'abscisse 1.
Comme on sait que la fonction ln est concave, sa courbe est au-dessous de ses tangentes, ce qui signifie exactement l'inégalité souhaitée.

Exercice

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes:

f(x) = ln(x²)

On peut dériver f = ln(u) avec u = x² donc u' = 2x et alors f ' = u'/u soit f '(x)= 2xx² = 2x

Autre méthode, et plus simplement, on a f(x) = 2 ln(x) et donc, f '(x) = 2×1x = 2x
g(x) = ln(5x+2)

On dérive g = ln(u) avec u = 5x + 2 donc u' = 5 et alors g ' = u'/u soit g '(x) = 55x + 2
h(x) = ln1/x

On peut dériver h = ln(u) ou plus judicieusement (et simplement) écire tout d'abord que h(x) = − ln(x) = −1 × ln(x) et alors h '(x) = −1×1x = −1x
k(x) = ln(x)

On peut dériver k = ln(u) avec u = x donc u' = 1/2x et alors k ' = u'/u soit
k '(x)= 1/2xx = 12xx = 12x

Autre méthode, et bien plus simplement, on a
k(x) = ln(x) = 12ln(x)
et donc,
k '(x) = 12×1x = 12x
l (x) = ln(e^x + 1 )

On dérive l = ln(u) avec u = e^x + 1 donc u' = e^x et alors l' = u'/u soit
l'(x)= e^xe^x + 1

Exercice

Voir aussi d'autres calculs corrigés de dérivées de fonction avec des logarithmes

Exercice

Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition de

f : x ↦ ln(x) + 2/ln(x) − 1

Il faut tout d'abord préciser l'ensemble de définition de f, qui est défini pour pour x>0 pour les logarithmes, et aussi pour ln(x)−1≠0 ⇔ ln(x)≠1 ⇔ x≠e¹=e.
L'ensemble de définition de f est donc ]0;e[∪]e;+∞[, et il ya trois limites à étudier: en 0, en e et en +∞

En 0: on a lim_x0 ln(x) = −∞ et on est donc face à une forme indéterminée ∞/∞.
On factorise par le terme prépondérant:

f (x) = ln(x) + 2/ln(x) − 1 = ln(x) 1 + 2/ln(x) / ln(x) 1 − 1/ln(x) = 1 + 2/ln(x) / 1 − 1/ln(x)

où

lim_x0 1 + 2/ln(x) = lim_x0 1 − 1/ln(x) = 1

et donc

lim_x0 f(x) = 1

En +∞: comme lim_x+∞ ln(x) = ∞ on a la même forme indéterminée que précédemment, et avec la factorisation précédente, on trouve à nouveau que

lim_x∞ f(x) = 1

ce qui signifie au passage que la droite d&apo;équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞.
En e: Pour le numérateur on a simplement lim_xe ln(x) + 2 = 3 tandis que lim_xe ln(x) − 1 = 0 et ainsi la limite du quotient est infinie et il ne reste plus qu'à déterminer le signe.
On vu que le numérateur tend vers ln(3)>0.
Par ailleurs comme la fonction ln est strictement croissante, on a x<e ⇔ ln(x)<ln(e)=1 ⇔ ln(x)−1<0 d'où les signes

x	0				e		+∞
ln(x)−1				−	0	+

et on donc les limites:

lim _{xe

x<e} f(x) = −∞

lim _{xe

x>e} f(x) = +∞

ce qui signifie graphiquement que la droite d&apo;équation x = e est asymptote verticale à la courbe de f.

Exercice

Étudier la fonction (variation et limites) f définie sur R₊^* par

f(x) = 1/x − ln(x)

f est une soustraction de fonctions de référence, et on a directement

f(x) = −1/x² − 1/x

qu'on s'empresse d'écrire sur le même dénominateur pour pouvoir en étudier le signe:

f '(x) = −1/x² − x/x² = −1+x/x²

Comme on est sur R₊^*, on a en particulier x>0 et donc 1+x>1>0, et donc f '(x)<0.
Ainsi, f est strictement décroissante sur R₊^*.

On a deux limites à étudier: en 0 et en +∞.
En 0: pour x0, avec x>0, on a

lim _{x0

x>0} 1/x = +∞

lim _{x0

x>0} ln(x) = +∞

d'où, par addition des limites,

lim _{x0

x>0} f(x) = +∞

En +∞: on a lim_x+∞ 1/x = 0 et lim_x+∞ ln(x) = +∞ d'où, par soustraction des limites, lim_x+∞ f(x) = −∞

Limites et croissances comparées

On rappelle les limites du logarithme népérien, voir aussi la courbe du logarithme:

Propriété:

lim_x0 ln(x) = −∞ et lim_x+∞ ln(x) = +∞

La fonction logarithme népérien a une croissance "peu rapide", par rapport aux fonctions puissances xⁿ.
Plus précisément, cela s'exprime dans le théorème de croissances comparées, analogue au théorème de croissances comparées pour l'exponentielle

Théorème: croissances comparées

lim_x0 x ln(x) = 0 et lim_x0 ln(x)/x = 0
Plus généralement, pour tout entier naturel n non nul, on a les limites lim_x0 x ln(x) = 0 et lim_x0 ln(x)/xⁿ = 0

Logarithme décimal

Lire le chapitre suivant cours et exercices sur le logarithme décimal

Voir aussi: