Encadrement de e

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

  1. Montrer que, pour tout $x$ réel, $e^x\geqslant x+1$.
    On pourra étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto e^x-(x+1)$.
  2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, les deux inégalités suivantes:
    $(I_1): e\geqslant \lp1+\dfrac1n\rp^n$      et      $(I_2): \dfrac1e\geqslant \lp1-\dfrac1n\rp^n$

  3. En déduire l'encadrement $\lp1+\dfrac1n\rp^n\leqslant e\leqslant\lp1-\dfrac1n\rp^{-n}$
  4. On prend $n=1000$, donner un encadrement à $10^{-3}$ près de $e$.

Correction


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