Oral du bac: suite et géométrie dans l'espace

géométrie dans l'espace, suites récurrentes

  • L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
  • La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
  • Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
    Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
    L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.

Exercice 1: Géométrie dans un cube

On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté 1, $I$ est le milieu de $[EF]$ et $J$ le symétrique de $E$ par rapport à $F$.

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left( A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\rp$.

\[\psset{unit=.95cm} \begin{pspicture}(-0.5,.6)(6.3,4) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline[linestyle=dashed](1,0.5) \psline(4,0.5)(4,3.5) \psline(4,3.5)(1,3.5) \psline(0,3)(1,3.5) \psline(3,3)(4,3.5) \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5) \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5) \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5) \rput(-0.2,-0.2){$A$} \rput(3.2,-0.2){$B$} \rput(4.3,0.6){$C$} \rput(1.2,0.7){$D$} \rput(-.2,3){$E$} \rput(2.95,3.2){$F$} \rput(4.3,3.7){$G$} \rput(.7,3.7){$H$} \rput(1.5,2.98){$\tm$}\rput(1.5,2.65){$I$} \psline[linewidth=.5pt](3,3)(6,3) \rput(6,2.98){$\tm$}\rput(5.9,2.65){$J$} \end{pspicture}\]


  1. Par lecture graphique, donner les coordonnées de $I$ et $J$.
  2. En déduire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{DJ}$, $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BG}$.
  3. Montrer que $\overrightarrow{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BGI)$.
  4. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est $2x-y+z-2=0$.

Correction exercice 1
  1. Par lecture graphique, $I\lp\frac12;0;1\rp$ et $J\lp2;0;1\rp$.
  2. On en déduit $\overrightarrow{DJ}\lp2;-1;1\rp$, $\overrightarrow{BI}\lp-\frac12;0;1\rp$ et $\overrightarrow{BG}\lp0;1;1\rp$.
  3. $\overrightarrow{DJ}$ est normal au plan $(BGI)$ si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{BI}$, ce qui est bien le cas car:
    \[\overrightarrow{DJ}\cdot\overrightarrow{BG}=2\tm0+(-1)\tm1+1\tm1=0\]

    et
    \[\overrightarrow{DJ}\cdot\overrightarrow{BI}=2\tm\lp-\dfrac12\rp+(-1)\tm0+1\tm1=0\]

  4. Un vecteur normal au plan $(BGI)$ est donc $\overrightarrow{DJ}(2;-1;1)$ et donc ce plan a une équation cartésienne de la forme $2x-y+z+d=0$.
    De plus $B(1;0;0)$ appartient à ce plan, d'où $2\tm1-0+0+d=0\iff d=-2$.
    Une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est donc bien $2x-y+z-2=0$.



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Exercice 2: Suite récurrente et suite auxiliaire géométrique avec logarithme

On considère la suite $(u_n) définie par $u_0=2 et, pour tout entier $n, $u_{n+1}=\sqrt{10u_n}.
On note $f la fonction définie par l'expression $f:x\mapsto \sqrt{10x}.
  1. Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction $f et construire sur l'axe des abscisses les premiers termes $u_1, $u_2, … de la suite $(u_n).
    Quelles conjectures peut-on faire ?
  2. On pose $v_n=\ln\left( u_n\right) -\ln(10). Montrer que $(v_n) est une suite géométrique.
    En déduire les expressions de $v_n, puis de $u_n en fonction de $n.
  3. En déduire que la limite de la suite $(u_n).

Correction exercice 2

  1. \psset{unit=0.8cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1,-1)(12,12) \psline{->}(-.5,0)(12,0) \psline{->}(0,-.5)(0,12) \newcommand{\f}[1]{10 #1 mul 0.5 exp} \psplot{0}{10}{\f{x}} \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{12}{\f{x}} \rput(11.6,10.3){$\mathcal{C}_f$} \psplot{-0.2}{12}{x}\rput(11.5,12){$y=x$} \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } \def\xinit{2} \def\nmax{4} \psline[linestyle=dashed](\xinit,0)(!\xinit\space\f{\xinit})(!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.3){$u_0=2$} \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed](!\fn{\i}{\xinit} \space 0)(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$u_\i$} } \def\ninf{20} \psline[linecolor=blue](!\fn{\ninf}{\xinit}\space 0)(!\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})(!0\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\ninf}{\xinit}\space -0.3){\blue$\ell$} \rput(!-.3\space\fn{\ninf}{\xinit}){\blue$\ell$} \end{pspicture}

    On peut conjecturer que la suite $(u_n) est strictement croissante, minorée par $2, majorée par $10, et convergente vers une limite $l.

  2. \begin{array}{ll} v_{n+1}&=\ln\left( u_{n+1}\rp-\ln(10)\\[0.4cm] &=\ln\left( \sqrt{10u_n}\rp-\ln(10)\\[0.4cm] &=\dfrac12\ln(10u_n)-\ln(10)\\[0.4cm] &=\dfrac12\Bigl(\ln(10)+\ln\left( u_n\rp\Bigr)-\ln(10)\\[0.4cm] &=\dfrac12\ln\left( u_n\rp-\dfrac12\ln(10) \\[0.4cm] &=\dfrac12\lp\ln\lp u_n\rp-\ln(10)\rp=\dfrac12 v_n \enar

    Ainsi, la $\left( v_n\rp est géométrique de raison $\dfrac12.
    On en déduit que, pour tout entier $n, $v_n=\lp\dfrac12\rp^n v_0=\dfrac{1}{2^n}\lp \ln(2)-\ln(10)\rp =-\dfrac{\ln(5)}{2^n}, et donc, que $v_n=\ln\left( u_n\rp-\ln(10)=\ln\left(\dfrac{u_n}{10}\rp \iff u_n=10e^{v_n}.
  3. Comme $\left( v_n\rp est une suite géométrique de raison $-1<q=\dfrac12<1, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=0, et alors, par composition des limites, $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}10e^{v_n}=10.



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Voir aussi:
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