Oral du bac: suite et géométrie dans l'espace

Terminale générale, spécialité mathématiques

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.

Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.

Exercice 1: Géométrie dans un cube

On considère le cube

de côté 1,

est le milieu de

le symétrique de

par rapport à

.

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left( A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\rp$ .

$\psset{unit=.95cm} \begin{pspicture}(-0.5,.6)(6.3,4) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline[linestyle=dashed](1,0.5) \psline(4,0.5)(4,3.5) \psline(4,3.5)(1,3.5) \psline(0,3)(1,3.5) \psline(3,3)(4,3.5) \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5) \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5) \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5) \rput(-0.2,-0.2){$A$} \rput(3.2,-0.2){$B$} \rput(4.3,0.6){$C$} \rput(1.2,0.7){$D$} \rput(-.2,3){$E$} \rput(2.95,3.2){$F$} \rput(4.3,3.7){$G$} \rput(.7,3.7){$H$} \rput(1.5,2.98){$\tm$}\rput(1.5,2.65){$I$} \psline[linewidth=.5pt](3,3)(6,3) \rput(6,2.98){$\tm$}\rput(5.9,2.65){$J$} \end{pspicture}$

Par lecture graphique, donner les coordonnées de et .
En déduire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{DJ}$ , $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BG}$ .
Montrer que $\overrightarrow{DJ}$ est un vecteur normal au plan .
Montrer qu'une équation cartésienne du plan est .

Correction exercice 1

Par lecture graphique, $I\lp\frac12;0;1\rp$ et $J\lp2;0;1\rp$ .
On en déduit $\overrightarrow{DJ}\lp2;-1;1\rp$ , $\overrightarrow{BI}\lp-\frac12;0;1\rp$ et $\overrightarrow{BG}\lp0;1;1\rp$ .
$\overrightarrow{DJ}$ est normal au plan si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{BI}$ , ce qui est bien le cas car:

$\overrightarrow{DJ}\cdot\overrightarrow{BG}=2\tm0+(-1)\tm1+1\tm1=0$

et

$\overrightarrow{DJ}\cdot\overrightarrow{BI}=2\tm\lp-\dfrac12\rp+(-1)\tm0+1\tm1=0$
Un vecteur normal au plan est donc $\overrightarrow{DJ}(2;-1;1)$ et donc ce plan a une équation cartésienne de la forme .
De plus appartient à ce plan, d'où $2\tm1-0+0+d=0\iff d=-2$ .
Une équation cartésienne du plan est donc bien .

Cacher la correction

Exercice 2: Suite récurrente et suite auxiliaire géométrique avec logarithme

On considère la suite

définie par

et, pour tout entier

, $$u_{n+1}=\sqrt{10u_n}$ .
On note

la fonction définie par l'expression $$f:x\mapsto \sqrt{10x}$ .

Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction et construire sur l'axe des abscisses les premiers termes , , … de la suite .
Quelles conjectures peut-on faire ?
On pose $$v_n=\ln\left( u_n\right) -\ln(10)$ . Montrer que est une suite géométrique.
En déduire les expressions de , puis de en fonction de .
En déduire que la limite de la suite .

Correction exercice 2

$\psset{unit=0.8cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1,-1)(12,12) \psline{->}(-.5,0)(12,0) \psline{->}(0,-.5)(0,12) \newcommand{\f}[1]{10 #1 mul 0.5 exp} \psplot{0}{10}{\f{x}} \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{12}{\f{x}} \rput(11.6,10.3){$\mathcal{C}_f$} \psplot{-0.2}{12}{x}\rput(11.5,12){$y=x$} \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } \def\xinit{2} \def\nmax{4} \psline[linestyle=dashed](\xinit,0)(!\xinit\space\f{\xinit})(!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.3){$u_0=2$} \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed](!\fn{\i}{\xinit} \space 0)(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$u_\i$} } \def\ninf{20} \psline[linecolor=blue](!\fn{\ninf}{\xinit}\space 0)(!\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})(!0\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\ninf}{\xinit}\space -0.3){\blue$\ell$} \rput(!-.3\space\fn{\ninf}{\xinit}){\blue$\ell$} \end{pspicture}$

On peut conjecturer que la suite est strictement croissante, minorée par , majorée par , et convergente vers une limite .
$\begin{array}{ll} v_{n+1}&=\ln\left( u_{n+1}\rp-\ln(10)\\[0.4cm] &=\ln\left( \sqrt{10u_n}\rp-\ln(10)\\[0.4cm] &=\dfrac12\ln(10u_n)-\ln(10)\\[0.4cm] &=\dfrac12\Bigl(\ln(10)+\ln\left( u_n\rp\Bigr)-\ln(10)\\[0.4cm] &=\dfrac12\ln\left( u_n\rp-\dfrac12\ln(10) \\[0.4cm] &=\dfrac12\lp\ln\lp u_n\rp-\ln(10)\rp=\dfrac12 v_n \enar$

Ainsi, la $$\left( v_n\rp$ est géométrique de raison $$\dfrac12$ .
On en déduit que, pour tout entier , $$v_n=\lp\dfrac12\rp^n v_0=\dfrac{1}{2^n}\lp \ln(2)-\ln(10)\rp =-\dfrac{\ln(5)}{2^n}$ , et donc, que $$v_n=\ln\left( u_n\rp-\ln(10)=\ln\left(\dfrac{u_n}{10}\rp \iff u_n=10e^{v_n}$ .
Comme $$\left( v_n\rp$ est une suite géométrique de raison $$-1<q=\dfrac12<1$ , on a $$\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=0$ , et alors, par composition des limites, $$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}10e^{v_n}=10$ .