Bac 2019 (Métropole, septembre) - Intégrale gaussienne, méthode de Monté Carlo
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On donne ci-dessous la représentation graphique
dans un repère orthogonal d'une fonction
définie et continue sur
.
La courbe
est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
et se situe dans le demi-plan
.
![\[\psset{xunit=3cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.25)(2,1.2)
\multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.2)(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.2+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(-2,-0.19)(2,1.2)
\uput[d](-0.08,-0.02){$0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2.71828 x dup mul exp div}
%\psGauss[mue=0,sigma=0.75,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/6.png)
Pour tout
on pose:
![\[G(t)=\int_0^t g(u) du\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/8.png)
Partie A
Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s'appuyer sur des considérations graphiques.
Dans la suite du problème, la fonction
est définie sur
par
.
Partie B
Partie C
On rappelle que la fonction
est définie sur
par
et que la fonction
est définie sur
par :
![\[G(t) =\int_0^t g(u) du\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/68.png)
On se propose de déterminer une majoration de
pour
.
Correction
![$\mathcal{C}_g$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/1.png)
![$g$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/2.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/3.png)
![$\mathcal{C}_g$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/4.png)
![$y>0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/5.png)
![\[\psset{xunit=3cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.25)(2,1.2)
\multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.2)(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.2+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(-2,-0.19)(2,1.2)
\uput[d](-0.08,-0.02){$0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2.71828 x dup mul exp div}
%\psGauss[mue=0,sigma=0.75,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/6.png)
Pour tout
![$t\in\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/7.png)
![\[G(t)=\int_0^t g(u) du\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/8.png)
Partie A
Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s'appuyer sur des considérations graphiques.
- La fonction
est-elle croissante sur
? Justifier.
- Justifier graphiquement l'inégalité
.
- La fonction
est-elle positive sur
? Justifier.
Dans la suite du problème, la fonction
![$g$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/14.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/15.png)
![$g(u) = e^{-u^2}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/16.png)
Partie B
- Étude de
- Déterminer les limites de la fonction
aux bornes de son ensemble de définition.
- Calculer la fonction dérivée de
et en déduire le tableau de variations de
sur
.
- Préciser le maximum de
sur
. En déduire que
.
- Déterminer les limites de la fonction
- On note
l'ensemble des points
situés entre la courbe
, l'axe des abscisses et les droites d'équation
et
. On appelle
l'aire de cet ensemble.
On rappelle que:
On souhaite estimer l'airepar la méthode dite "de Monte-Carlo" décrite ci-dessous.
- On choisit un point
en tirant au hasard de façon indépendante ses coordonnées
et
selon la loi uniforme sur l'intervalle
. On admet que la probabilité que le point
appartienne à l'ensemble
est égale à
.
- On répète
fois l'expérience du choix d'un point
au hasard. On compte le nombre
de points appartenant à l'ensemble
parmi les
points obtenus.
- La fréquence
est une estimation de la valeur de
.
- La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour
. Déterminer la valeur de
correspondant à ce graphique.
- L'exécution de l'algorithme ci-dessous utilise
la méthode de Monte-Carlo décrite précédemment pour déterminer une valeur
du nombre
. Recopier et compléter cet algorithme.
,
et
sont des nombres réels,
,
et
sont des entiers naturels.
ALEA est une fonction qui génère aléatoirement un nombre compris entreet
.
- Une exécution de l'algorithme pour
donne
. En déduire un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la valeur exacte de
.
- On choisit un point
Partie C
On rappelle que la fonction
![$g$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/63.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/64.png)
![$g(u) = \text{e}^{-u^2}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/65.png)
![$G$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/66.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/67.png)
![\[G(t) =\int_0^t g(u) du\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/68.png)
On se propose de déterminer une majoration de
![$G(t)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/69.png)
![$t \geqslant 1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/70.png)
- Un résultat préliminaire.
On admet que, pour tout réel, on a
.
En déduire que, pour tout réel, on a :
- Montrer que, pour tout réel
,
Que peut-on dire de la limite éventuelle delorsque
tend vers
?
Correction
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