Bac 2016 (Amérique du nord) - Récupérateur d'eau: logarithme, tangente, primitive, intégrale, TVI et dichotomie

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau. Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant:
  • elle doit être située à deux mètres de sa maison;
  • la profondeur maximale doit être de deux mètres;
  • elle doit mesurer cinq mètres de long;
  • elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-dessous.
$$(-1.8,-0.5)(7,5) \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7) \rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}} \psline(2.1,2.7)(5.4,2) \psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7) \psline(2,1.8)(5.4,2) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7) \psset{arrowsize=2pt 3} \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05) \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05) \uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](1.35,3.35){5 m} $$


La partie incurvée est modélisée par la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2;2e]$ définie par:

\[f(x)=x\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2.\]

La courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1m et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points $A(2;2)$, $I(2;0)$ et $B(2e;2)$.

\[\psset{unit=2cm} \begin{pspicture*}(-0.25,-0.3)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.2,-0.25)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5) \uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psline(5.437,2)(6,2) \psline(6,0)(2,0)} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psline(5.437,2)(6,2) \psline(6,0)(2,0)} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2) \psdots(2,2)(5.437,2) \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2 add 5.437 sub} \uput[u](2,2){$A$} \uput[u](5.437,2){$B$} \uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$} \uput[dl](2,0){$I$} \uput[dr](3.437,0){$D$} \rput(1,1){Terrain} \rput(3.2,1.2){Cuve} \rput(4.7,0.5){Terrain} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2,2)(5.437,2) \end{pspicture*}\]




Partie A   L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.

  1. Justifier que les points $B$ et $I$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_f$ et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $I$.
  2. On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$, et $D$ le point d'intersection de la droite $\mathcal{T}$ avec l'axe des abscisses.
    1. Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ et en déduire les coordonnées de $D$.
    2. On appelle $S$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, les droites d'équations $y=2$, $x=2$ et $x=2e$.
      $S$ peut être encadrée par l'aire du triangle $ABI$ et celle du trapèze $AIDB$.
      Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
    1. Montrer que, sur l'intervalle $[2;2e]$, la fonction $G$ définie par
      \[G(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-\dfrac{x^2}{4}\]

      est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x)=x\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp$.
    2. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2;2e]$.
    3. Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ et en déduire une valeur approchée du volume $V$ de la cuve au m3 près.


Partie B   Pour tout réel $x$ compris entre $2$ et $2e$, on note $v(x)$ le volume d'eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à $f(x)$.
On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2 ; 2e],

\[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]


\[\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm} \begin{pspicture}(-.9,-0.5)(5.8,3.2) \psline(0,-0.5)(0,3.5) \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(5,1.68)(5.437,2.1) \multido{\n=0+1}{4}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)} \rput{3}(0,0){ \psline(-0.5,0)(6,0) \multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0.1)(\n,-0.1)\uput[d](\n,0){\n}} } \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.5)(0.35,2.3)(0.35,0.9) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.37,2.47)(5.08,1.7) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{ \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(5.08,1.75) \psline(5.08,1.75)(2,1.5) } \pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95) \psline(2,1.85)(2,1.5) \psline(0.35,2.7)(0.35,2.3) \pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](5.08,0.2)(5.08,1.75)(0,1.37) \uput[d](5.2,0.3){$x$} \uput[l](0,1.37){$f(x)$} \multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}} \end{pspicture}\]


  1. Quel volume d'eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
  2. On rappelle que $V$ est le volume total de la cuve, $f$ est la fonction définie en début d'exercice et $v$ la fonction définie dans la partie B.
    On considère l'algorithme ci-dessous.
    Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.
    \[\begin{tabular}{|ll|}\hline Variables:&$a$ est un r\'eel\\ &$b$ est un r\'eel\\ Traitement:&$a$ prend la valeur 2\\ &$b$ prend la valeur 2 e\\ &Tant que $v(b) - v(a) > 10^{-3}$ faire :\\ &\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $c$ prend la valeur $(a+b)/2$\\ Si $v(c) < V/2$, alors :\\ \hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $a$ prend la valeur c\\ \end{tabular}\\ Sinon\\ \hspace{0.4cm} \begin{tabular}{|l} $b$ prend la valeur $c$\\ \end{tabular}\\ Fin Si\\ \end{tabular}\\ &Fin Tant que\\ Sortie: &Afficher $f(c)$\\ \hline \end{tabular}\]


Correction


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