Bac 2019 (Antille-Guyane): Fonction avec exponentielle, éléments graphiques, étude et primitive

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale


Partie A
Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(x)=\dfrac{a}{1+e^{-bx}}.\]


La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A(0 ; 0,5). La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A passe par le point B(10 ; 1).

\[\psset{xunit=0.675cm,yunit=4.8cm,comma=true} \begin{pspicture}(-1,-0.05)(20,1,2) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(20,1.2) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{1 1 2.71828 x 0.2 mul neg exp add div} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{14}{x 0.05 mul 0.5 add} \psdots(10,1)\uput[ul](10,1){B} \uput[u](17,0.95){\blue $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture}\]




  1. Justifier que $a=1$.
    On obtient alors, pour tout réel $x \geqslant 0$,   $f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-bx}}$.
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
    Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$
    \[f'(x)=\dfrac{be^{-bx}}{\lp1+e^{-bx}\rp^2}.\]

  3. En utilisant les données de l'énoncé, déterminer $b$.



Partie B
La proportion d'individus qui possèdent un certain type d'équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[p(x)=\dfrac{1}{1+e^{-0,2x}}.\]

Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1er janvier 2000.
Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d'individus équipés après $x$ années.
Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d'individus équipés au milieu de l'année 2003.


  1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2010? On en donnera une valeur arrondie au centième.
    1. Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
    2. Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
    3. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
  3. On considère que, lorsque la proportion d'individus équipés dépasse 95 %, le marché est saturé. Déterminer, en expliquant la démarche, l'année au cours de laquelle cela se produit.
    1. Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$, $p(x) = \dfrac{e^{0,2x}}{1 + e^{0,2x}}$.
    2. En déduire une primitive $P$ de la fonction $p$.
    3. La proportion moyenne d'individus équipés entre 2008 et 2010 est donnée par le nombre $m=\dfrac{P(10)-P(8)}2$. Déterminer une valeur arrondie au centième de $m$.


Correction

Partie A
  1. $A(0;0,5)\in\mathcal{C}_f\iff f(0)=0,5 \iff \dfrac{a}{1+e^0}=\dfrac{a}2=\dfrac12\iff a=1$
  2. On a $f=\dfrac1u$ avec $u(x)=1+e^{-bx}$ donc $u'(x)=-be^{-bx}$
    et alors $f'=-\dfrac1{u^2}$, soit $f'(x) = -\dfrac{-be^{-bx}}{\left(1+e^{-bx}\right)^2} =\dfrac{be^{-bx}}{\left(1+e^{-bx}\right)^2}$
  3. La tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A(0;0,5)$ passe par $B(10;1)$. Le coefficient directeur de cette tangente est donc
    \[m=\dfrac{1-0,5}{10-0}=\dfrac1{20}=0,05\]

    Par ailleurs, ce coefficient directeur est aussi $f'(0)$, et donc
    \[f'(0)=\dfrac{b}{\lp1+e^0\rp^2}=\dfrac{b}4=0,05 \iff b=0,2\]


Partie B
  1. En 2010, on a $x=10$, et donc la proportion d'individus équipés est $f(10)\simeq 0,88$.
    1. Comme vu à la question 2, partie A, on a, avec $b=0,2$, $f'(x) =\dfrac{0,2e^{-0,2x}}{\left(1+e^{-0,2x}\right)^2}$ et donc, comme $e^{-0,2x}>0$ et $\left(1+e^{-0,2x}\right)^2>0$, la fonction $p$ est strictement croissante sur $\R$ donc aussi sur $[0;+\infty[$.
    2. En $+\infty$, on a $\dsp\lim_{x\to+\infty}-0,2x=-\infty$, donc par composition $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-0,2x}=0$ et donc, finalement $\dsp\lim_{x\to+\infty}p(x)=1$.
    3. Au bout d'un temps assez long, tout le monde va posséder ce type d'équipement.
  3. On cherche $x$ tel que
    \[\begin{array}{ll}p(x)>95\%=0,95 &\iff \dfrac{1}{1 + e^{-0,2x}}>0,95\\ &\iff 1 + e^{-0,2x}<\dfrac1{0,95}\\ &\iff e^{-0,2x}<\dfrac1{0,95}-1=\dfrac{0,05}{0,95}\\ &\iff -0,2x<\ln\lp\dfrac{0,05}{0,95}\rp\\ &\iff x>-\dfrac1{0,2}\ln\lp\dfrac{0,05}{0,95}\rp\simeq14,7 \enar\]

    Cela se produit donc au cours de la 14ème année.

    1. \[p(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-0,2x}} =\dfrac{e^{0,2x}}{e^{0,2x}}\tm\dfrac{1}{1 + e^{-0,2x}} =\dfrac{e^{0,2x}}{1 + e^{0,2x}}\]

    2. Exprimer sous cette forme, on a donc $p$ de la forme $\dfrac{u'}{u}$, et on trouve donc une primitive
      \[P(x)=\dfrac1{0,2}\ln\lp1+e^{0,2x}\rp=5\ln\lp1+e^{0,2x}\rp\]


    3. La proportion moyenne d'individus équipés entre 2008 et 2010 est alors
      \[m=\dfrac{P(10)-P(8)}2 =\dfrac12\left( \dfrac1{0,2}\ln\lp1+e^{2}\right) + \dfrac1{0,2}\ln\lp1+e^{1,6}\rp\rp\simeq 0,86 \]




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