Bac 2019 (Antille-Guyane): Fonction avec exponentielle, éléments graphiques, étude et primitive
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Partie A
Soit
![$a$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/1.png)
![$b$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/2.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/3.png)
![$[0~;~+\infty[$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/4.png)
![\[f(x)=\dfrac{a}{1+e^{-bx}}.\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/5.png)
La courbe
![$\mathcal{C}_f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/6.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/7.png)
La courbe
![$\mathcal{C}_f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/8.png)
![$\mathcal{C}_f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/9.png)
![\[\psset{xunit=0.675cm,yunit=4.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.05)(20,1,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(20,1.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{1 1 2.71828 x 0.2 mul neg exp add div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{14}{x 0.05 mul 0.5 add}
\psdots(10,1)\uput[ul](10,1){B}
\uput[u](17,0.95){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/10.png)
- Justifier que
.
On obtient alors, pour tout réel,
.
- On admet que la fonction
est dérivable sur
et on note
sa fonction dérivée.
Vérifier que, pour tout réel
- En utilisant les données de l'énoncé, déterminer
.
Partie B
La proportion d'individus qui possèdent un certain type d'équipement dans une population est modélisée par la fonction
![$p$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/20.png)
![$[0~;~+\infty[$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/21.png)
![\[p(x)=\dfrac{1}{1+e^{-0,2x}}.\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/22.png)
Le réel
![$x$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/23.png)
Le nombre
![$p(x)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/24.png)
![$x$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/25.png)
Ainsi, pour ce modèle,
![$p(0)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/26.png)
![$p(3,5)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex2019/27.png)
- Quelle est, pour ce modèle, la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2010? On en donnera une valeur arrondie au centième.
-
- Déterminer le sens de variation de la fonction
sur
.
- Calculer la limite de la fonction
en
.
- Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
- Déterminer le sens de variation de la fonction
- On considère que, lorsque la proportion d'individus équipés dépasse 95 %, le marché est saturé. Déterminer, en expliquant la démarche, l'année au cours de laquelle cela se produit.
-
- Vérifier que, pour tout réel
,
.
- En déduire une primitive
de la fonction
.
- La proportion moyenne d'individus équipés entre 2008 et 2010
est donnée par le nombre
. Déterminer une valeur arrondie au centième de
.
- Vérifier que, pour tout réel
Correction
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