Bac 2018 (Pondichéry, 4 mai): Droite, plan, intersection

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans l'espace muni du repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\rp$ d'unité 1 cm, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives (2 ; 1 ; 4), (4 ; -1 ; 0), (0 ; 3 ; 2) et (4 ; 3 ; -2).


  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).
  2. Soit M un point de la droite (CD).
    1. Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale.
    2. On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées (3 ; 3 ; - 1). Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.
    3. Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à $12\,\text{cm}^2$.
    1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BCD).
    2. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
    3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par A et orthogonale au plan (BCD).
    4. Démontrer que le point I, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (BCD) a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$.
  4. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

Correction

  1. $\overrightarrow{CD}(4;0;-4)$ est un vecteur directeur de la droite $(CD)$, d'où la représentation paramétrique
    \[(CD):\la\begin{array}{ll}x=4t\\y=3\\z=2-4t\enar\right.\,, \ t\in\R\]

  2. Soit M un point de la droite (CD).
    1. $BM$ est minimale si et seulement si $M$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(CD)$: donc $M\in(CD)$ et $\overrightarrow{BM}\perp\overrightarrow{CD}\iff\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CD}=0$.
      Soit $M(x,y,z)$, alors il existe $t\in\R$ tel que
      \[M\in(CD)\iff\la\begin{array}{ll}x=4t\\y=3\\z=2-4t\enar\right. \quad\text{ et } \quad \begin{array}[t]{ll}\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CD}&=4(x-4)+0(y+1)+(-4)(z-0)=0 \\ &\iff 4x-4z=16\end{array} \]

      On doit donc avoir
      \[4x-4z=4(4t)-4(2-4t)=16\iff 32t-8=16\iff t=\dfrac{24}{32}=\dfrac34\]

      et donc finalement, $M(3;3;-1)$.
    2. $H(3~;~3~;~- 1)$ donc $BH(-1;4;-1)$ et alors $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{CD}=-1\tm4+4\tm0+(-1)\tm(-4)=0$, ce qui montre que les droites $(BH)$ et $(CD)$ sont orthogonales.
      De plus, on sait que $H\in(CD)$, donc que ces deux droites sont sécantes en $H$.
      On en déduit donc que ces deux droites $(BH)$ et $(CD)$ sont bien perpendiculaires.
    3. D'après ce qui précède, $(BH)$ est la hauteur issue de $B$ dans $BCD$, et donc
      \[\mathcal{A}_{BCD} = \dfrac12\times CD \times BH = \dfrac12\tm\sqrt{32}\tm\sqrt{18}= \sqrt{144}= 12\]


    1. On a $\overrightarrow{BC}(-4;4;2)$ et $\overrightarrow{CD}(4;0;-4)$, d'où
      \[\begin{array}{lcl} \vec{n}\cdot\overrightarrow{BC}&=&2\tm(-4)+1\tm4+2\tm2=0\\[.4em] \vec{n}\cdot\overrightarrow{CD}&=&2\tm(4)+1\tm0+2\tm(-4)=0 \enar\]

      Ainsi, le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCD)$ et ainsi il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan, c'est-à-dire orthogonal au plan $(BCD)$.
    2. On déduit de ce qui précède qu'une équation cartésienne du plan $(BCD)$ s'écrit sous la forme
      \[2x+y+2z+d=0\]

      avec de plus, par exemple, $B(4;-1;0)\in(BCD)$ donc $2\tm4+(-1)+2\tm0+d=0\iff d=-7$, d'où l'équation
      \[2x+y+2z-7=0\]

    3. La droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(BCD$) et donc $\vec{n}$ en est un vecteur directeur, avec de plus $A(2;1;4)\in\Delta$, d'où une représentation paramétrique
      \[\Delta:\la\begin{array}{ll}x=2+2t\\y=1+t\\z=4+2t\enar\right.\ , \ t\in\R\]

    4. Soit $I(x;y;z)$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(BCD)$, alors d'une part $I\in(BCD)\iff 2x+y+2z-7=0$.
      D'autre part, comme $I\in\Delta$, et d'après la question précèdente, il existe un réel $t$ tel que les coordonnées de $I$ vérifient les équations paramétriques de $\Delta$.
      On a donc
      \[2(2+2t)+(1+t)+2(4+2t)-7=0 \iff 9t+6=0\iff t=-\dfrac69=-\dfrac23\]

      et on trouve alors les coordonnées
      \[\la\begin{array}{ll}x=2+2\lp-\dfrac23\rp=\dfrac23\\ y=1+\lp-\dfrac23\rp=\dfrac13\\ z=4+2\lp-\dfrac23\rp=\dfrac83\enar\right.\]

      qui sont les coordonnées recherchées.
  4. Comme $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(BCD)$ en $I$ et passe par $A$, on en déduit que $AI$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ de base $BCD$, et donc
    \[\mathcal{V}_{ABCD} = \dfrac13\times AI\times \mathcal{A}_{ABCD} =\dfrac13\times AI\times12\]

    avec
    \[\begin{array}{ll}AI&=\sqrt{\lp\dfrac23-2\rp^2+\lp\dfrac13-1\rp^2+\lp\dfrac83-4\rp^2}\\[1.4em] &=\sqrt{\dfrac{4^2+2^2+4^2}{3^2}}=\sqrt{\dfrac{36}{3^2}}=\dfrac63=2 \enar\]

    d'où le volume du tétraèdre $\mathcal{V}_{ABCD}=\dfrac13\tm2\tm12=8\,cm^3$


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