Bac 2018 (Pondichéry, 4 mai): Droite, plan, intersection

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans l'espace muni du repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\rp$ d'unité 1 cm, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives (2 ; 1 ; 4), (4 ; -1 ; 0), (0 ; 3 ; 2) et (4 ; 3 ; -2).


  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).
  2. Soit M un point de la droite (CD).
    1. Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale.
    2. On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées (3 ; 3 ; - 1). Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.
    3. Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à $12\,\text{cm}^2$.
    1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BCD).
    2. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
    3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par A et orthogonale au plan (BCD).
    4. Démontrer que le point I, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (BCD) a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$.
  4. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

Correction


Tag:Géométrie dans l'espace

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