Bac 2021 (Sujet 0): Un peu de tout dans l'espace, dans un cube

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté 1, $I$ est le milieu de $[EF]$ et $J$ le symétrique de $E$ par rapport à $F$.

Dans tous les exercices, l'espace est rapporté au repère orthonormé $\left( A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\rp$.


$$(-0.5,.6)(6.3,4) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline[linestyle=dashed](1,0.5) \psline(4,0.5)(4,3.5) \psline(4,3.5)(1,3.5) \psline(0,3)(1,3.5) \psline(3,3)(4,3.5) \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5) \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5) \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5) \rput(-0.2,-0.2){$A$} \rput(3.2,-0.2){$B$} \rput(4.3,0.6){$C$} \rput(1.2,0.7){$D$} \rput(-.2,3){$E$} \rput(2.95,3.2){$F$} \rput(4.3,3.7){$G$} \rput(.7,3.7){$H$} \rput(1.5,2.98){$\tm$}\rput(1.5,2.65){$I$} \psline[linewidth=.5pt](3,3)(6,3) \rput(6,2.98){$\tm$}\rput(5.9,2.65){$J$} $$


 
    1. Par lecture graphique, donner les coordonnées de $I$ et $J$.
    2. En déduire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{DJ}$, $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BG}$.
    3. Montrer que $\overrightarrow{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BGI)$.
    4. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est $2x-y+z-2=0$.

  2. On note $d$ la droite passant par $F$ et orthogonale au plan $(BGI)$.
    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    2. On considère le point $L$ de coordonnées $\lp\dfrac23;\dfrac16;\dfrac56\rp$.
      Montrer que $L$ est le point d'intersection de la droite $d$ et du plan $(BGI)$.

  3. On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac13\tm\mathcal{B}\tm h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.
    1. Calculer le volume de la pyramide $FBGI$.
    2. En déduire l'aire du triangle $BGI$.

Correction


Tag:Géométrie dans l'espace

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