Bac 2015 (Nouvelle Calédonie) - Droites perpendiculaires dans l'espace

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

L'espace est rapporté au repère orthonormé $$\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$ . On désigne par $$\R$ l'ensemble des nombres réels.
On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.

Soient le point

de coordonnées

et le vecteur $$\overrightarrow{u_1}$ de coordonnées $$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ .
On appelle

la droite passant par

et de vecteur directeur $$\overrightarrow{u_1}$ .
On appelle

la droite qui admet pour représentation paramétrique $$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 + k\\y&=& - 2k\\ z&=&2\phantom{+ k} \end{array}\right.\:(k \in \R).$
Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à

1. Donner une représentation paramétrique de .
2. Donner un vecteur directeur de (on le notera : $$\overrightarrow{u_2}$ ).
3. Le point appartient-il à ?
Démontrer que les droites et sont non coplanaires.
Soit le vecteur $$\vec{v}\begin{pmatrix}- 6\\- 3\\4\end{pmatrix}$ . On définit la droite $$\Delta_1$ passant par et de vecteur directeur $$\vec{v}$ et la droite $$\Delta_2$ passant par et parallèle à $$\Delta_1$ . Justifier que les droites et $$\Delta_1$ sont perpendiculaires.

Dans la suite, on admettra que les droites et $$\Delta_2$ sont perpendiculaires.
Soit le plan défini par les droites et et le plan défini par les droites et .
1. Soit le vecteur $$\vec{n}\begin{pmatrix}17\\- 22\\9\end{pmatrix}$ . Vérifier que $$\vec{n}$ est un vecteur normal au plan .
2. Montrer que et ne sont pas parallèles.
Soit $$\Delta$ la droite d'intersection des plans et . On admettra que le vecteur $$\vec{v}$ est un vecteur directeur de $$\Delta$ . Utiliser les questions précédentes pour prouver qu'il existe une droite de l'espace perpendiculaire à la fois à et à .

Correction

Tag:Géométrie dans l'espace

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