Bac 2015 (Nouvelle Calédonie) - Droites perpendiculaires dans l'espace

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp. On désigne par $\R l'ensemble des nombres réels.
On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.


Soient le point $A_1 de coordonnées $(0~;~2~;~-1) et le vecteur $\overrightarrow{u_1} de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.
On appelle $D_1 la droite passant par $A_1 et de vecteur directeur $\overrightarrow{u_1}.
On appelle $D_2 la droite qui admet pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 + k\\y&=& - 2k\\ z&=&2\phantom{+ k} \end{array}\right.\:(k \in \R).
Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à $D_1 et $D_2.


    1. Donner une représentation paramétrique de $D_1.
    2. Donner un vecteur directeur de $D_2 (on le notera : $\overrightarrow{u_2}).
    3. Le point $A_2(- 1~;~4~;~2) appartient-il à $D_2 ?
  2. Démontrer que les droites $D_1 et $D_2 sont non coplanaires.
  3. Soit le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}- 6\\- 3\\4\end{pmatrix}. On définit la droite $\Delta_1 passant par $A_1 et de vecteur directeur $\vec{v} et la droite $\Delta_2 passant par $A_2 et parallèle à $\Delta_1. Justifier que les droites $D_1 et $\Delta_1 sont perpendiculaires.

    Dans la suite, on admettra que les droites $D_2 et $\Delta_2 sont perpendiculaires.

  4. Soit $P_1 le plan défini par les droites $D_1 et $\Delta_1 et $P_2 le plan défini par les droites $D_2 et $\Delta_2.
    1. Soit le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}17\\- 22\\9\end{pmatrix}. Vérifier que $\vec{n} est un vecteur normal au plan $P_1.
    2. Montrer que $P_1 et $P_2 ne sont pas parallèles.
  5. Soit $\Delta la droite d'intersection des plans $P_1 et $P_2. On admettra que le vecteur $\vec{v} est un vecteur directeur de $\Delta. Utiliser les questions précédentes pour prouver qu'il existe une droite de l'espace perpendiculaire à la fois à $D_1 et à $D_2.

Correction


Tag:Géométrie dans l'espace

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