Bac 2014 (Nouvelle Calédonie) - Suite récurrente, construction graphique, récurrence, somme des 1er termes et algorithme

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction

définie sur l'intervalle $$[0~;~+ \infty[$ par

$f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.$

On admettra que

est dérivable sur l'intervalle $$[0~;~+ \infty[$ .
On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe $$\mathcal{C}$ représentative de

ainsi que la droite $$\mathcal{D}$ d'équation

Démontrer que est croissante sur l'intervalle $$[0~;~+ \infty[$ .
Résoudre l'équation sur l'intervalle $$[0~;~+ \infty[$ . On note $$\alpha$ la solution.
On donnera la valeur exacte de $$\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $$10^{-2}$ près.
On considère la suite $$\left(u_n\right)$ définie par et, pour tout entier naturel , $$u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ .
Sur la figure de annexe 1, en utilisant la courbe $$\mathcal{C}$ et la droite $$\mathcal{D}$ , placer les points , et d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives , et .
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $$\left( u_n\rp$ ?
1. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel ,
  
  $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$
  
  où $$\alpha$ est le réel défini dans la question 2.
2. Peut-on affirmer que la suite $$\left( u_n\rp$ est convergente ? On justifiera la réponse.
Pour tout entier naturel , on définit la suite par

$S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.$
1. Calculer , et . Donner une valeur approchée des résultats à $$10^{-2}$ près.
2. Compléter l'algorithme donné en annexe 2 pour qu'il affiche la somme pour la valeur de l'entier demandée à l'utilisateur.
3. Montrer que la suite $$\left( S_n\rp$ diverge vers $$+ \infty$ .

Annexe 1 à rendre avec la copie

$\psset{unit=1.35cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psline[linecolor=cyan](7.2,7.2) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture}$

Annexe 2 à rendre avec la copie

$\renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabular}{|l l|}\hline \textbf{Entr\'ee:}&$n$ un entier naturel \\ \textbf{Variables:}&$u$ et $s$ sont des variables r\'eelles\\ &$n$ et $i$ sont des variables enti\`eres\\ \textbf{Initialisation:}& $u$ prend la valeur 1 \\ &$s$ prend la valeur $u$ \\ &$i$ prend la valeur 0\\ &Demander la valeur de $n$ \\ \textbf{Traitement:}&Tant que \ldots\\ &Affecter \`a $i$ la valeur $i + 1$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur \ldots\\ &Affecter \`a $s$ la valeur \ldots\\ &Fin Tant que \\ \textbf{Sortie:}&Afficher $s$.\\ \hline \end{tabular}$

Correction
Nouvelle Calédonie, 2014
On considère la fonction

définie sur l'intervalle $$[0;+\infty[$ par $$f(x)=5-\dfrac{4}{x + 2}$ .

$$f'(x)=0-4\dfrac{-1}{(x+2)^2}=\dfrac{4}{(x+2)^2}>0$ sur $$[0;+\infty[$ .
Donc la fonction est strictement croissante sur $$[0;+\infty[$ .
On résout dans $$[0;+\infty[$ l'équation :
$$f(x) = x \iff 5-\dfrac{4}{x+2}=x \iff \dfrac{5(x+2)-4 -x(x+2)}{x+2} = 0 \iff \dfrac{5x+10-4-x^2-2x}{x+2}=0\\[5pt] \phantom{f(x)=x} \iff \dfrac{-x^2+3x+6}{x+2}=0 \iff -x^2+3x+6 = 0 \text{ et }x+2 \neq 0$
Le trinôme du second degré a pour discriminant $$\Delta=9-4\times 6\times (-1)=33>0$ , et admet donc 2 solutions réelles: $$\dfrac{-3-\sqrt{33}}{-2}=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}$ et $$\dfrac{3-\sqrt{33}}{2}$ .
Cette deuxième solution est négative donc l'unique solution de l'équation dans l'intervalle $$[0;+\infty[$ est $$\alpha=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}\approx 4,37$ .
On considère la suite $$\left(u_n\right)$ définie par et, pour tout entier naturel , $$u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ .
Sur la figure de annexe 1, on place les points , et d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives , et .
On peut conjecturer que la suite est croissante et converge vers $$\alpha$ .
1. On cherche à montrer que la propriété $$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$ est vraie pour tout entier .
  Initialisation: Pour , et $$u_{n+1}=u_1=f(u_0)=5-\dfrac{4}{1+2}=\dfrac{11}{3}$ ; de plus $$\alpha \approx 4,37$ . On a $$0 \leqslant 1 \leqslant \dfrac{11}{3} \leqslant \alpha$ ce qui veut dire que la propriété est vraie au rang 0.
  
  Hérédité: On suppose la propriété vraie au rang $$p \geqslant 0$ , autrement dit: $$0\leqslant u_p \leqslant u_{p+1} \leqslant \alpha$ .
  On sait d'après la question 1. que la fonction est strictement croissante sur $$[0;+\infty[$ donc: $$0\leqslant u_p \leqslant u_{p+1} \leqslant \alpha \Longrightarrow f(0) \leqslant f(u_p) \leqslant f(u_{p+1}) \leqslant f(\alpha)$
  $$f(0)=3 \geqslant 0$ , $$f(u_p)=u_{p+1}$ et $$f(u_{p+1})=u_{p+2}$ .
  De plus, $$\alpha$ est solution de l'équation donc $$f(\alpha)=\alpha$ .
  On a donc $$0 \leqslant u_{p+1} \leqslant u_{p+2} \leqslant \alpha$ ; on peut dire que la propriété est vraie au rang .
  
  Conclusion: On a donc démontré d'après le principe de récurrence, que, pour tout entier naturel , $$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$ .
2. Pour tout , $$u_n \leqslant u_{n+1}$ donc la suite est croissante. Pour tout , $$u_n \leqslant \alpha$ donc la suite est majorée par $$\alpha$ .
  On en déduit que la suite est convergente.
Pour tout entier naturel , on définit la suite par .
1. ; $$S_1=u_0+u_1 = 1+\dfrac{11}{3} = \dfrac{14}{3} \approx 4,67$
  ; $$u_2=f(u_1)=f\left(\dfrac{11}{3}\right ) = \dfrac{73}{17}$ donc $$S_2 = \dfrac{14}{3}+\dfrac{73}{17} = \dfrac{457}{51} \approx 8,960$ donc $$S_2 \approx 8,96$ .
2. On complète l'algorithme donné en annexe 2 pour qu'il affiche la somme pour la valeur de l'entier demandée à l'utilisateur.
3. On sait que la suite est croissante donc, pour tout de $$\N$ , $$u_n\geqslant u_0$ .
  Or , donc, pour tout , $$u_n \geqslant 1$ et donc $$S_n = u_0+ u_1 + \ldots + u_n \geqslant n+1$ . Or $$\dsp\lim_{n \to +\infty} n+1=+\infty$ donc, d'après les théorèmes de comparaison sur les limites: $$\dsp\lim_{n\to +\infty} S_n=+\infty$

Annexe

$\psset{unit=1.35cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psaxes[linewidth=1.25pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psline[linecolor=cyan](7.2,7.2) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub} \uput[dl](0,0){O} \psset{linecolor=red} \psline(1,0)(1,3.67) \psline(0,3.67)(3.67,3.67) \psline(3.67,0)(3.67,4.294) \psline(0,4.294)(4.294,4.294) \psline(4.294,0)(4.294,4.364) \uput*{8pt}[d](1,0){\red $M_0$} \uput*{8pt}[d](3.67,0){\red $M_1$} \uput[l](0,3.67){\red $u_1$} \uput*{8pt}[d](4.294,0){\red $M_2$} \uput[l](0,4.294){\red $u_2$} \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](4.37,0)(4.37,4.37) \uput[dr](4.37,0){\blue $\alpha$} \end{pspicture}$

Annexe 2

$\renewcommand\arraystretch{1.2} \begin{tabular}{|l l|}\hline \textbf{Entr\'ee:}&$n$ un entier naturel \\ \textbf{Variables:}&$u$ et $s$ sont des variables r\'eelles\\ &$n$ et $i$ sont des variables enti\`eres\\ \textbf{Initialisation:}& $u$ prend la valeur 1 \\ &$s$ prend la valeur $u$ \\ &$i$ prend la valeur 0\\ &Demander la valeur de $n$ \\ \textbf{Traitement:}& Tant que $\red i < n$\\ & \hspace*{1cm} Affecter \`a $i$ la valeur $i + 1$\\ & \hspace*{1cm} Affecter \`a $u$ la valeur $\red 5 - \dfrac{4}{u + 2}$\\ & \hspace*{1cm} Affecter \`a $s$ la valeur $\red s+u$\\ &Fin Tant que \\ \textbf{Sortie:}&Afficher $s$\\ \hline \end{tabular}$

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