Bac 2014 (Nouvelle Calédonie) - Suite récurrente, construction graphique, récurrence, somme des 1er termes et algorithme

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction

définie sur l'intervalle $$[0~;~+ \infty[$ par

$f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.$

On admettra que

est dérivable sur l'intervalle $$[0~;~+ \infty[$ .
On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe $$\mathcal{C}$ représentative de

ainsi que la droite $$\mathcal{D}$ d'équation

Démontrer que est croissante sur l'intervalle $$[0~;~+ \infty[$ .
Résoudre l'équation sur l'intervalle $$[0~;~+ \infty[$ . On note $$\alpha$ la solution.
On donnera la valeur exacte de $$\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $$10^{-2}$ près.
On considère la suite $$\left(u_n\right)$ définie par et, pour tout entier naturel , $$u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ .
Sur la figure de annexe 1, en utilisant la courbe $$\mathcal{C}$ et la droite $$\mathcal{D}$ , placer les points , et d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives , et .
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $$\left( u_n\rp$ ?
1. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel ,
  
  $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$
  
  où $$\alpha$ est le réel défini dans la question 2.
2. Peut-on affirmer que la suite $$\left( u_n\rp$ est convergente ? On justifiera la réponse.
Pour tout entier naturel , on définit la suite par

$S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.$
1. Calculer , et . Donner une valeur approchée des résultats à $$10^{-2}$ près.
2. Compléter l'algorithme donné en annexe 2 pour qu'il affiche la somme pour la valeur de l'entier demandée à l'utilisateur.
3. Montrer que la suite $$\left( S_n\rp$ diverge vers $$+ \infty$ .

Annexe 1 à rendre avec la copie

$\psset{unit=1.35cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psline[linecolor=cyan](7.2,7.2) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture}$

Annexe 2 à rendre avec la copie

$\renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabular}{|l l|}\hline \textbf{Entr\'ee:}&$n$ un entier naturel \\ \textbf{Variables:}&$u$ et $s$ sont des variables r\'eelles\\ &$n$ et $i$ sont des variables enti\`eres\\ \textbf{Initialisation:}& $u$ prend la valeur 1 \\ &$s$ prend la valeur $u$ \\ &$i$ prend la valeur 0\\ &Demander la valeur de $n$ \\ \textbf{Traitement:}&Tant que \ldots\\ &Affecter \`a $i$ la valeur $i + 1$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur \ldots\\ &Affecter \`a $s$ la valeur \ldots\\ &Fin Tant que \\ \textbf{Sortie:}&Afficher $s$.\\ \hline \end{tabular}$

Correction

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