Bac 2014 (Nouvelle Calédonie) - Suite récurrente, construction graphique, récurrence, somme des 1er termes et algorithme
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la fonction
définie sur l'intervalle
par
On admettra que
est dérivable sur l'intervalle
.
On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe
représentative de
ainsi que la droite
d'équation
.
Annexe 1 à rendre avec la copie
Annexe 2 à rendre avec la copie
Correction



On admettra que


On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe




- Démontrer que
est croissante sur l'intervalle
.
- Résoudre l'équation
sur l'intervalle
. On note
la solution.
On donnera la valeur exacte depuis on en donnera une valeur approchée à
près.
- On considère la suite
définie par
et, pour tout entier naturel
,
.
Sur la figure de annexe 1, en utilisant la courbeet la droite
, placer les points
,
et
d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives
,
et
.
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite?
-
- Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel
,
oùest le réel défini dans la question 2.
- Peut-on affirmer que la suite
est convergente ? On justifiera la réponse.
- Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel
- Pour tout entier naturel
, on définit la suite
par
- Calculer
,
et
. Donner une valeur approchée des résultats à
près.
- Compléter l'algorithme donné en annexe 2 pour qu'il affiche la somme
pour la valeur de l'entier
demandée à l'utilisateur.
- Montrer que la suite
diverge vers
.
- Calculer
Annexe 1 à rendre avec la copie
![\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psline[linecolor=cyan](7.2,7.2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex114.NC/45.png)
Annexe 2 à rendre avec la copie

Correction
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