Bac 2013 (Asie) - Un exercice bien complet sur les suites, et avec un algorithme
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Partie A
On considère la suite
définie par:
et, pour tout entier naturel
:
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
Partie B
On considère la suite
définie par:
et, pour tout entier naturel
:
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
Correction
On considère la suite
![$\left( u_n\rp](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex113.Asie/1.png)
![$u_0=2](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex113.Asie/2.png)
![$n](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex113.Asie/3.png)
![u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_n}{3 + u_n}.](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex113.Asie/4.png)
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
, on a :
.
-
- Établir que, pour tout entier naturel
, on a:
.
- Déterminer le sens de variation de la suite
.
En déduire que la suiteconverge.
- Établir que, pour tout entier naturel
Partie B
On considère la suite
![$\left( u_n\rp](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex113.Asie/11.png)
![$u_0=2](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex113.Asie/12.png)
![$n](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex113.Asie/13.png)
![u_{n+1}=\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}.](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex113.Asie/14.png)
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
- On considère l'algorithme suivant :
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour. Les valeurs de
seront arrondies au millième.
- Pour
, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
Conjecturer le comportement de la suiteà l'infini.
- On considère la suite
définie, pour tout entier naturel
, par :
.
- Démontrer que la suite
est géométrique de raison
.
- Calculer
puis écrire
en fonction de
.
- Démontrer que la suite
-
- Montrer que, pour tout entier naturel
, on a:
.
- montrer que, pour tout entier naturel
, on a:
.
- Déterminer la limite de la suite
.
- Montrer que, pour tout entier naturel
Correction
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