Bac 2008 - Logarithme et son carré, aire (IPP) et distance maximale

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Les courbes C et C' données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal $\left( 0;\vec{i},\vec{j}\rp$, les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln x$ et $g(x)=\left(\ln x\rp^2$.
\[\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture*}(-1,-3.2)(4,3.2) \newcommand{\f}[1]{x ln} \newcommand{\g}[1]{x ln 2 exp} \pscustom{ \psplot{1}{2.718}{\f{x}} \gsave \psplot{2.718}{1}{\g{x}} \fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] %\fill[fillstyle=vlines] \grestore} \psline(-.2,0)(4,0) \psline(0,-3)(0,3) \multido{\i=1+1}{4}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}} \multido{\i=-3+1}{7}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.1,\i){\i}} \psplot{.05}{4}{\f{x}} \psplot{.1}{4}{\g{x}} \end{pspicture*}\]


  1. On cherche à déterminer l'aire A (en unités d'aire) de la partie grisée.
    On note $I=\dsp\int_1^e\ln x\,dx$ et $J=\dsp\int_1^e\lp\ln x\rp^2\,dx$.
    1. Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $F(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire $I$.
    2. Démontrer à l'aide d'une intégration par partie que $J=e-2I$.
    3. Donner la valeur de A.
  2. Pour $x$ appartenant à l'intervalle $[1;e]$, on note $M$ le point de la courbe C d'abscisse $x$ et $N$ le point de la courbe C' de même abscisse.
    Pour quelle valeur de $x$ la distance MN est-elle maxiale ? Calculer la valeur maximale de MN.

Correction


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