Bac 2008 - Logarithme et son carré, aire (IPP) et distance maximale

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Les courbes C et C' données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal $\left( 0;\vec{i},\vec{j}\rp$, les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln x$ et $g(x)=\left(\ln x\rp^2$.
\[\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture*}(-1,-3.2)(4,3.2) \newcommand{\f}[1]{x ln} \newcommand{\g}[1]{x ln 2 exp} \pscustom{ \psplot{1}{2.718}{\f{x}} \gsave \psplot{2.718}{1}{\g{x}} \fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] %\fill[fillstyle=vlines] \grestore} \psline(-.2,0)(4,0) \psline(0,-3)(0,3) \multido{\i=1+1}{4}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}} \multido{\i=-3+1}{7}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.1,\i){\i}} \psplot{.05}{4}{\f{x}} \psplot{.1}{4}{\g{x}} \end{pspicture*}\]


  1. On cherche à déterminer l'aire A (en unités d'aire) de la partie grisée.
    On note $I=\dsp\int_1^e\ln x\,dx$ et $J=\dsp\int_1^e\lp\ln x\rp^2\,dx$.
    1. Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $F(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire $I$.
    2. Démontrer à l'aide d'une intégration par partie que $J=e-2I$.
    3. Donner la valeur de A.
  2. Pour $x$ appartenant à l'intervalle $[1;e]$, on note $M$ le point de la courbe C d'abscisse $x$ et $N$ le point de la courbe C' de même abscisse.
    Pour quelle valeur de $x$ la distance MN est-elle maxiale ? Calculer la valeur maximale de MN.

Correction
Bac juin 2008
    1. On dérive: $F=uv-u$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln x$ donc $v'(x)=\dfrac1x$,
      et alors, $F'=u'v-uv'-u'$,
      soit $F'(x)=\ln x-x\tm\dfrac1x-1=\ln x=f(x)$
      ce qui montre que $F$ est bien une primtive de $f$.

      On en déduit
      \[\begin{array}{ll}I&=\dsp\int_1^e\ln x\,dx =\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_1^e =F(e)-F(1)\\[1em] &=\left( e\ln e-e\rp-\left( 1\ln 1-1\rp =1\enar\]


    2. On pose $u=\ln x$ donc $u'=\dfrac1x$ et $v'=\ln x$ donc $v=x\ln x-x$ et et alors, en intégrant par parties,
      \[\begin{array}{ll}J&=\Bigl[\ln x\left( x\ln x-x\rp\Bigr]_1^e -\dsp\int_1^e\dfrac1x\left( x\ln x-x\rp\\[1em] &=0-\dsp\int_1^e\lp\ln x-1\rp\,dx\\[1em] &=-\dsp\int_1^e\ln x\,dx+\int_1^e1dx\\[1em] &=-I+e-1=e-2I\enar\]

      car $I=1$.
    3. On en déduit la valeur de A:
      \[\begin{array}{ll}A&=\dsp\int_1^e\left( f(x)-g(x)\rp\,dx\\[1em] &=\dsp\int_1^ef(x)\,dx-\int_1^eg(x)\,dx\\[1em] &=I-J =1-\left( e-2I\rp\\ &=1-\left( e-2\rp=3-e\enar\]

  2. Pour $x\in[1;e]$, on a
    \[\begin{array}{ll}MN&=d(x)=f(x)-g(x)\\[.5em]&=\ln x-\lp\ln x\rp^2\enar\]

    Pour trouver le maximum de cette fonction, il suffit de connaître ses variations.
    On a
    \[d'(x)=\dfrac1x-2\dfrac1x\ln x=\dfrac1x\lp1-2\ln x\rp\]

    avec $1-2\ln x>0\iff \ln x<1/2\iff x<e^{1/2}=\sqrt{e}$ et donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ &$1$ && $\sqrt{e}$ && $e$\\\hline $1/x$ && $+$ &$|$&$+$&\\\hline $1-2\ln x$ && $+$ &\zb&$-$&\\\hline $d'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\\\hline &&&$d\lp\sqrt{e}\rp$&&\\ $d$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}\]

    La distance est donc maximale en $x=\sqrt{e}$ et cette distance maximale est
    \[d\lp\sqrt{e}\rp=\ln\sqrt{e}-\lp\ln\sqrt{e}\rp^2 =\dfrac12-\lp\dfrac12\rp^2=\dfrac14\]



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