Bac 2008 - Logarithme et son carré, aire (IPP) et distance maximale
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Les courbes C et C' données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal , les fonctions et définies sur l'intervalle par et .
- On cherche à déterminer l'aire A (en unités d'aire) de la partie grisée.
On note et .- Vérifier que la fonction définie sur l'intervalle par est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire .
- Démontrer à l'aide d'une intégration par partie que .
- Donner la valeur de A.
- Pour appartenant à l'intervalle , on note le point de la courbe C d'abscisse et le point de la courbe C' de même abscisse.
Pour quelle valeur de la distance MN est-elle maxiale ? Calculer la valeur maximale de MN.
Correction
Bac juin 2008
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Bac juin 2008
-
- On dérive: avec donc et donc ,
et alors, ,
soit
ce qui montre que est bien une primtive de .
On en déduit
- On pose donc et donc et et alors, en intégrant par parties,
car . - On en déduit la valeur de A:
- On dérive: avec donc et donc ,
- Pour , on a
Pour trouver le maximum de cette fonction, il suffit de connaître ses variations.
On a
avec et donc
La distance est donc maximale en et cette distance maximale est
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