2nd degré, récurrence et théorème de comparaison
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
- Déterminer les valeurs de telles que .
- Montrer que, pour tout entier , .
- En déduire la limite .
Correction
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- .
Ce trinôme du 2nd degré a pour discriminant , et admet donc 2 racines et .
Le trinôme est ici positif à l'extérieur de ses racines, soit pour .
Comme on s'intéresse aux solutions entières, on a donc, .
- On peut démontrer cette propriété par récurrence:
Initialisation: Pour , et
,
donc on a bien pour .
Hérédité: Supposons que pour un entier , on ait .
Alors, au rang , , d'après l'hypothèse de récurrence.
Or, d'après la question précédente, pour , on a , et donc, on a bien, .
Ceci montre que la propriété est encore vraie au rang .
Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier , . - On sait que .
Ainsi, d'après le théorème de comparaison des limites (corollaire du théorème des gendarmes), on a aussi .
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