2nd degré, récurrence et théorème de comparaison

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Déterminer les valeurs de $$n\in\N$ telles que $$2n^2\geqslant (n+1)^2$ .
Montrer que, pour tout entier , $$2^n\geqslant n^2$ .
En déduire la limite $$\dsp\lim_{n\to+\infty} 2^n$ .

Correction

$$2n^2\geqslant (n+1)^2 \iff n^2-2n-1\geqslant 0$ .
Ce trinôme du 2nd degré a pour discriminant $$\Delta=8>0$ , et admet donc 2 racines $$n_1=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}$ et $$n_2=1+\sqrt{2}$ .
Le trinôme est ici positif à l'extérieur de ses racines, soit pour $$n\in]-\infty;1-\sqrt{2}]\cup[1+\sqrt{2};+\infty[$ .
Comme on s'intéresse aux solutions entières, on a donc, $$2n^2\geqslant (n+1)^2 \iff n\in]-\infty;-2]\cup[3;+\infty[$ .
On peut démontrer cette propriété par récurrence: Initialisation: Pour , et , donc on a bien $$2^n\geqslant n^2$ pour .
Hérédité: Supposons que pour un entier , on ait $$2^n\geqslant n^2$ .
Alors, au rang , $$2^{n+1}=2\times2^n\geqslant 2\times n^2$ , d'après l'hypothèse de récurrence.
Or, d'après la question précédente, pour $$n\geqslant 3$ , on a $$2n^2\geqslant (n+1)^2$ , et donc, on a bien, $$2^{n+1}\geqslant 2n^2\geqslant (n+1)^2$ .
Ceci montre que la propriété est encore vraie au rang .
Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $$n\geqslant 4$ , $$2^n\geqslant n^2$ .
On sait que $$\dsp\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty$ .
Ainsi, d'après le théorème de comparaison des limites (corollaire du théorème des gendarmes), on a aussi $$\dsp\lim_{n\to+\infty}2^n=+\infty$ .

Cacher la correction

Tag:Suites

Autres sujets au hasard:

Voir aussi:

Quelques devoirs

Devoir corrigé

Suites et fonctions - Sujet A

sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, suite auxiliaire géométrique

Devoir corrigé

Suites et fonctions - Sujet B

Devoir corrigé

Suites et fonctions - Sujet A

Devoir corrigé

Suites et fonctions - Sujet B

Devoir corrigé

Suites et fonctions

maison sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, suite auxiliaire arithmétique, convergence monotone et point fixe