Résolution de 6 équations (produit, quotient, carré)

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

Résoudre les équations:

$(E_1):\ (2x-3)(-x+2)=0$
$(E_2):\ (x^2-5)(3x+7)=0$
$(E_3):\ (2x-3)(x+6)-(x+6)=0$
$(E_4):\ \dfrac{x^2-25}{2x-10}=0$
$(E_5):\ \dfrac{2}{2x+5}-\dfrac{1}{4x-3}=0$
$(E_6):\ (2x+3)^2=49$

Correction

est une équation produit nul:

$(E_1) \iff \la\begin{array}{rl} 2x-3=0 \\ \mbox{ou, } -x+2=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x=\dfrac{3}{2} \\ \mbox{ou, } x=2\enar\right.$

d'où les solutions $\mathcal{S}_1=\left\{ \dfrac{3}{2}\,;\,2\right\}$
est une équation produit nul:

$(E_2)\iff \la\begin{array}{rl}x^2-5=0 \\ \mbox{ou, } 3x+7=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x^2=5 \\ \mbox{ou, } x=-\dfrac{7}{3}\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=-\sqrt{5}\ \mbox{ou, } x=\sqrt{5} \\ \mbox{ou, } x=-\dfrac{7}{3}\enar\right.$

d'où les solutions $\mathcal{S}_2=\left\{ -\dfrac{7}{3}\,;\,-\sqrt{5}\,;\,\sqrt{5}\right\}$
On factorise le terme commun:

$\begin{array}{ll}(E_3):\ &(2x-3)(x+6)-(x+6)=0\\ \iff &(x+6)\Big[(2x-3)-1\Big]=0\\ \iff &(x+6)\left[ 2x-4\rb=0\enar$

et on a maintenant une équation produit nul:

$(E_3)\iff\la\begin{array}{lll} &x+6=0 \\ \mbox{ou, } &2x-4=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x=-6 \\ \mbox{ou, } x=2\enar\right.$

d'où les solutions $\mathcal{S}_3=\left\{ -6\,;\,2\right\}$
est une équation quotient nul:

$(E_4) \iff \la\begin{array}{rl} x^2-25=0 \\ \mbox{et, }2x-10\not=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x^2=25 \\ \mbox{et, }x\not=5\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=-5\ \mbox{ou,}\ x=5 \\ \mbox{et, } x\not=5\enar\right.$

d'où la solution $\mathcal{S}_4=\left\{ -5\ra$
On met tout d'abord les deux fractions sur le même dénominateur:

$\dfrac{2}{2x+5}-\dfrac{1}{4x-3}=\dfrac{6x-11}{(2x+5)(4x-3)}$

et on a alors une équation quotient nul:

$(E_5)\iff \iff \la\begin{array}{rl}6x-11=0 \\ \mbox{et, }(2x+5)(4x-3)\not=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} &x=\dfrac{11}{6} \\ \mbox{et, }&x\not=-\dfrac{5}{2}\ \mbox{et, } x\not=\dfrac{3}{4}\enar\right.$

d'où la solution $\mathcal{S}_5=\left\{ \dfrac{11}{6}\right\}$
$(E_6):\ (2x+3)^2=49 \iff \la\begin{array}{rl}2x+3=-7 \\ \mbox{ou, }2x+3=7\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl}x=-5 \\ \mbox{ou, }x=2\enar\right.$ d'où $\mathcal{S}_6=\left\{ -5\,;\,2 \right\}$

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