Position relative de deux courbes

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

On considère les fonctions

définies par les expressions

et $g(x)=\dfrac{2x^2}{x+2}$ , et on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes représentatives respectives.
Étudier la position relative de ces courbes.

Correction

On étudie le signe de la différence:

$\begin{array}{ll}f(x)-g(x)&=(2x-1)-\dfrac{2x^2}{x+2}\\[.7em] &=\dfrac{(2x-1)(x+2)}{x+2}-\dfrac{2x^2}{x+2}\\[.7em] &=\dfrac{3x-2}{x+2} \enar$

grâce à un tableau de signes:

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $\frac23$ && $+\infty$ \\\hline $3x-2$ && $-$ & $|$ & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \\\hline $x+2$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline $\dfrac{3x+2}{x+1}$ && $+$ &\db& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline \end{tabular}$

On a donc,

$\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $\left]\phantom{\dfrac23}-\infty;-2\right[\cup\left]\dfrac23;+\infty\right[$
$\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $\left]-2;\dfrac23\right[$
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent au point d'abscisse $x=\dfrac23$

Tags:Fonctions Inéquations et tableaux de signes

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