Calculs avec coordonnées, recherche de points

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

Dans un repère orthonormal, on considère les points $E(-2;4)$ et $F(5;-1)$.
  1. Calculer $EF$ et les coordonnées de $\overrightarrow{EF}$.
  2. Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[EF]$.
  3. Déterminer les cooronnées du point $G$ tel que $\overrightarrow{EG}+2\overrightarrow{FG}=\vec{0}$
  4. Déterminer l'ordonnée du point $M$ de la droite $(EF)$ dont l'abscisse est 2.



Correction

Correction

Dans un repère orthonormal, on considère les points $E(-2;4)$ et $F(5;-1)$.
  1. $\overrightarrow{EF}(5-(-2);-1-4)$ soit $\overrightarrow{EF}(7;-5)$ et alors $EF=\sqrt{7^2+(-5)^2}=\sqrt{49+25}=\sqrt{74}$
  2. Le milieu $I$ de $[EF]$ a poiur coordonnées $I\lp\dfrac{-2+5}2;\dfrac{4+(-1)}2\rp$ soit $I\lp\dfrac32;\dfrac32\rp$
  3. Soit $G'x;y)$ alors $\overrightarrow{EG}(x+2;y-4)$ et $\overrightarrow{FG}(x-5;y+1)$ et donc $\overrightarrow{EG}+2\overrightarrow{FG}=\vec{0}$ est équivalent à
    \[\la\begin{array}{lcl} x+2+2(x-5)&=&0\\[.7em] y-4+2(y+1)&=&0\enar\right. \iff \la\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac83\\[1em]y&=&\dfrac23\enar\right.\]

    et on a ainsi trouvé le point $G\lp\dfrac83;\dfrac23\rp$.
  4. Soit $y$ l'ordonnée du point $M$ qui a donc pour coordonnées $(2;y)$.
    $\overrightarrow{EM}$ a pour coordonnées $\Big( 2-(-2);y-4\Big) = (4;y-4)$.
    $\overrightarrow{EF}$ a pour coordonnées $\Big( 5-(-2);-1-4\Big) = (7;-5)$.
    Le point $M$ appartient à la droite $(EF)$ si et seulement si les points $E$, $F$ et $M$ sont alignés, soit si et seulement si
    \[ 4\tm(-5)-7\tm(y-4)=0 \iff -20-7y+28=0 \iff y=\dfrac{8}{7} \]

    L'ordonnée du point $M$ est donc $\dfrac{8}{7}$.


Tag:Vecteurs et coordonnées

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