Divers calculs avec coordonnées dans un parallélogramme

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Soit trois points

Déterminer les coordonnées du point milieu de .
Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
Déterminer les coordonnées du point tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ .
Les droites et sont-elles parallèles ?
Quelles sont les coordonnées du point milieu de ?

Correction

Le milieu de a pour coorodnnées: $\left(\dfrac{6+24}{2};\dfrac{6+8}{2}\right) =\left(15;7\right)$ .
$\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\Big( 6-(-6);6-1\Big)=(12;5)$ .
$\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $\Big( 24-(-6);8-1\Big)=(30;7)$ .
Soit les coordonnées du point , alors $\overrightarrow{AD}$ a pour coordonnées: $\Big( x-(-6);y-1\Big)=(x+6;y-1)$ .
De plus, le vecteur $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées: .
On a alors, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\iff \left\{\begi... ...ay}\right. \iff \left\{\begin{array}{ll} x=36 \\ y=13 \end{array}\right.$
Ainsi, le point a pour coordonnées .
On peut calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{AC}$ et vérifier qu'ils sont colinéaires.
On peut aussi dire que le quadrilatère est un parallélogramme, par constuction même du point (règle du parallélogramme), et donc que ses côtés opposés sont parallèles.
Ainsi, les droites et sont parallèles.
De même, comme est un prarallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu, et donc, .
Les coordonnées de sont donc celles calculées au 1), soit .