Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Équation différentielleÉquation différentielle
Énoncé du sujet
Résoudre
![$y''-2y'+y=x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex7/1.png)
Correction
a pour équation caractéristique
de racine double
, et donc pour
solution
,
.
On peut rechercher une solution particulière sous la forme d'une fonction affine:
pour laquelle,
.
On obtient ainsi une solution particulière en choisissant
et
.
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions
,
.
Correction
L'équation homogène associée![$y''-2y'+y=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex7_c/1.png)
![$r^2-2r+1=(r-1)^2=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex7_c/2.png)
![$r=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex7_c/3.png)
![$y(x)=(Ax+B)e^x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex7_c/4.png)
![$(A,B)\in\R^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex7_c/5.png)
On peut rechercher une solution particulière sous la forme d'une fonction affine:
![$y(x)=ax+b$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex7_c/6.png)
![$y''-2y'+y=ax+(-2a+b)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex7_c/7.png)
![$a=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex7_c/8.png)
![$-2a+b=0\iff b=-2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex7_c/9.png)
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions
![$x\mapsto (Ax+B)e^x+x-2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex7_c/10.png)
![$(A,B)\in\R^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex7_c/11.png)
Tag:Équation différentielle
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