Endomorphismes définis par leurs produits


Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $\R^2$, $A$ et $B$ leurs matrices respectives dans la base canonique.
On suppose que $AB=\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&0\enar\rp$ et $BA=\lp\begin{array}{cc}0&1\\0&0\enar\rp$
  1. $f$ et $g$ peuvent elles être nulles ? Peuvent-elles être bijectives ?
  2. Déterminer $\text{Im}\,g$ et $\ker f$.
  3. Donner la forme de $A$ et $B$.

Correction
Oral ENSAE - 2014/2015

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $\R^2$, $A$ et $B$ leurs matrices respectives dans la base canonique.
On suppose que $AB=\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&0\enar\rp$ et $BA=\lp\begin{array}{cc}0&1\\0&0\enar\rp$
  1. Ni $f$, ni $g$ ne peuvent être nulles, car dans ce cas le produit de leurs matrices seraient aussi nul, ce qui n'est pas le cas.

    De même, ni $f$ ni $g$ ne peut être bijective.
    En effet, supposons par exemple $f$ bijective, donc $A$ inversible, alors on aurait
    \[AB=0\iff A^{-1}AB=A^{-1}0=0 \iff B=0\]

    ce qui donnerait alors aussi $BA=0$, alors que ce n'est pas le cas.
  2. Comme $f\circ g=0$, on a $\text{Im}(g)\subset\ker(f)$.
    De plus, comme $f$ n'est ni nulle ni bijective, on a forcément $\text{rg}(f)=\dim(\text{Im}(f))=1$ et, par le théorème du rang, $\dim(\ker(f))=\dim\lp\R^2\rp-\text{rg}(f)=2-1=1$.
    D'après inclusion $\text{Im}(g)\subset\ker(f)$, on a donc aussi nécessairement $\text{rg}(g)=\dim(\ker(g))=1$.

    Soit $X=\lp\begin{array}{l}x\\y\enar\rp\in\ker(f)$, alors
    \[AX=0\implies BAX=\lp\begin{array}{c}y\\0\enar\rp=\lp\begin{array}{c}0\\0\enar\rp\]

    d'où $y=0$ et $\ker(f)=\text{vect}\left( e_1\rp=\text{Im}(g)$.
  3. Comme $\ker(f)=\text{vect}(e_1)$, alors, dans la base canonique
    \[A=\lp\begin{array}{cc}0&a\\0&b\enar\rp\]

    et de même, comme $\text{Im}(g)=\text{Vect}(e_1)$, on a aussi
    \[B=\lp\begin{array}{cc}c&d\\0&0\enar\rp\]

    ce qui donne
    \[AB=\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&0\enar\rp\]

    et
    \[BA=\lp\begin{array}{cc}0&ac+bd\\0&0\enar\rp\]

    L'ensemble des matrices $A$ et $B$ recherchées sont donc celles qui s'écrivent sous la forme précédente, et dont les coefficients vérifient la relation $ac+bd=1$.


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