Égalité des noyaux et images de 3 endomorphismes définis par compositions circulaires
Colle de mathématiques
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Énoncé du sujet
Soit
,
et
trois endomorphismes d'un même espace vectoriel
tels que
,
et
.
Montrer que
,
et
ont même noyau et même image.
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8/1.png)
![$g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8/2.png)
![$h$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8/3.png)
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8/4.png)
![$f\circ g=h$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8/5.png)
![$g\circ h=f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8/6.png)
![$h\circ f=g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8/7.png)
Montrer que
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8/8.png)
![$g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8/9.png)
![$h$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8/10.png)
Correction
et donc, si
c'est-à-dire
donc
donc
et ainsi
.
De même, en permuttant circulairement, à partir de
on obtient
et de
on tire
.
Finalement, on a obtenu
ce qui montre que tous ces noyaux sont égaux.
Concernant les images, soit par exemple
c'est-à-dire qu'il existe
tel que
avec
et
donc
, d'où
En permuttant à nouveau circulairement,
et
.
Finalement, on a obtenu
![\[\text{Im}(h)\subset\text{Im}(f)\subset\text{Im}(g)\subset\text{Im}(h)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/20.png)
ce qui montre que toutes ces images sont égales.
Correction
![$\text{Ker}(h)=\text{Ker}(f\circ g)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/1.png)
![$x\in\text{Ker}(g)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/2.png)
![$g(x)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/3.png)
![$h(x)=f(g(x))=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/4.png)
![$x\in\text{Ker}(h)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/5.png)
![$\text{Ker}(g)\subset\text{Ker}(h)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/6.png)
De même, en permuttant circulairement, à partir de
![$g\circ h=f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/7.png)
![$\text{Ker}(h)\subset\text{Ker}(f)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/8.png)
![$h\circ f=g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/9.png)
![$\text{Ker}(f)\subset\text{Ker}(g)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/10.png)
Finalement, on a obtenu
![$\text{Ker}(g)\subset\text{Ker}(h)\subset\text{Ker}(f)\subset\text{Ker}(g)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/11.png)
Concernant les images, soit par exemple
![$y\in\text{Im}(h)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/12.png)
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/13.png)
![$y=h(x)=f(g(x))=f(z)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/14.png)
![$z=g(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/15.png)
![$y\in\text{Im}(f)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/16.png)
![$\text{Im}(h)\subset\text{Im}(f)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/17.png)
En permuttant à nouveau circulairement,
![$f=g\circ h \Longrightarrow\text{Im}(f)\subset\text{Im}(g)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/18.png)
![$g=h\circ f \Longrightarrow\text{Im}(g)\subset\text{Im}(h)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/19.png)
Finalement, on a obtenu
![\[\text{Im}(h)\subset\text{Im}(f)\subset\text{Im}(g)\subset\text{Im}(h)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/20.png)
ce qui montre que toutes ces images sont égales.
Tag:Applications linéaires
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