Déterminer les polynômes tels que … (ter) et le décomposer en produits de polynômes irréductibles
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Déterminer un polynôme
de degré 4 qui admet 2 comme racine double
et tel que
,
et
.
Décomposer alors
en produit de polynômes irréductibles
de
puis de
.
![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3/1.png)
![$P(1)=5$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3/2.png)
![$P'(0)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3/3.png)
![$P''(0)=-4$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3/4.png)
Décomposer alors
![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3/5.png)
![$\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3/6.png)
![$\C[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3/7.png)
Correction
,
donc
.
De plus,
et donc
.
En résumé, on obtient le système linéaire
![\[\la\begin{array}{rcrcrcrcr}
a&+&b&+&c&=&5 \\
&&b&-&c&=&0 \\
4a&-&4b&+&c&=&-2
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/7.png)
qui est équivalent à
et
.
On trouve donc l'unique polynôme
On a, en calculant son discriminant ou en à l'aide de sa forme canonique:
ce qui montre que
est irréductible dans
, tandis que dans
,
et donc
![\[\begin{array}{ll}P(X)&=(X-2)^2(X^2+2X+2)\\[.4em]
&=(X-2)^2(X+1-i)(X+1+i)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/16.png)
Correction
2 est une racine double de![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/1.png)
![$P(X)=(X-2)^2(aX^2+bX+c)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/2.png)
De plus,
![$\bullet P(1)=a+b+c=5$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/3.png)
![$\begin{array}{ll}\bullet &P(X)=(X^2-4X+4)(aX^2+bX+c)\\[.4em]
&=aX^4+(-4a+b)X^3+(4a-4b+c)X^2+(4b-4c)X+4c\enar$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/4.png)
et donc
![$P'(0)=4b-4c=0\iff b-c=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/5.png)
![$\bullet P''(0)=2(4a-4b+c)=-4\iff 4a-4b+c=-2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/6.png)
En résumé, on obtient le système linéaire
![\[\la\begin{array}{rcrcrcrcr}
a&+&b&+&c&=&5 \\
&&b&-&c&=&0 \\
4a&-&4b&+&c&=&-2
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/7.png)
qui est équivalent à
![$a=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/8.png)
![$b=c=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/9.png)
On trouve donc l'unique polynôme
![$P(X)=(X-2)^2(X^2+2X+2)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/10.png)
On a, en calculant son discriminant ou en à l'aide de sa forme canonique:
![$X^2+2X+2=(X+1)^2+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/11.png)
![$X^2+2X+2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/12.png)
![$\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/13.png)
![$\C[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/14.png)
![$X^2+2X+2=(X+1-i)(X+1+i)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/15.png)
![\[\begin{array}{ll}P(X)&=(X-2)^2(X^2+2X+2)\\[.4em]
&=(X-2)^2(X+1-i)(X+1+i)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/16.png)
Tags:PolynômeComplexes
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