Décomposition en série de Fourier
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Série de FourierSérie de Fourier
Énoncé du sujet
Étudier la série de Fourier de la fonction
,
-périodique, définie par sa représentation graphique suivante:
![\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-1,-.4)(7.8,1.5)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(-.1,0)(7.5,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-.1)(0,1.5)
\psline[linewidth=1.2pt](0,1)(3.14,0)(6.28,1)(9.42,0)
\psline(3.14,.05)(3.14,-.05)\rput(3.1,-.2){$\pi$}
\psline(6.28,.05)(6.28,-.05)\rput(6.2,-.2){$2\pi$}
\psline(-.05,1)(.05,1)\rput(-.2,1){1}
\rput(-.2,-.2){0}
\psline[linestyle=dashed](6.28,0)(6.28,1)(0,1)
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex1/3.png)


![\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-1,-.4)(7.8,1.5)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(-.1,0)(7.5,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-.1)(0,1.5)
\psline[linewidth=1.2pt](0,1)(3.14,0)(6.28,1)(9.42,0)
\psline(3.14,.05)(3.14,-.05)\rput(3.1,-.2){$\pi$}
\psline(6.28,.05)(6.28,-.05)\rput(6.2,-.2){$2\pi$}
\psline(-.05,1)(.05,1)\rput(-.2,1){1}
\rput(-.2,-.2){0}
\psline[linestyle=dashed](6.28,0)(6.28,1)(0,1)
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex1/3.png)
Correction
est
-périodique et paire, donc
,
et
![\[\begin{array}{ll}
a_0&\dsp=\dfrac{2}{2\pi}\int_0^\pi f(x)dx
=\dfrac1\pi\int_0^\pi \lp-\dfrac1\pi x+1\right) dx\\[1em]
&=\dfrac1\pi\Bigl[-\dfrac{1}{2\pi}x^2+x\Bigr]_0^\pi
=\dfrac1\pi\left( -\dfrac12\pi+pi\right)
=\dfrac12\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex1_c/4.png)
et pour tout entier
,
![\[a_n=\dfrac{4}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(n\omega x)dx\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex1_c/6.png)
avec
,
et sur
,
,
et donc
![\[\begin{array}{ll}
a_n&\dsp=\dfrac{4}{\pi}\int_0^\pi \lp-\dfrac1\pi x+1\right) \cos(nx)dx
=\dfrac{4}{n\pi}\Bigl[\lp-\dfrac1\pi x+1\rp\sin(nx)\Bigr]_0^\pi
+\dfrac{4}{n\pi^2}\int_0^\pi \sin(nx)dx \\[1em]
&=0-\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl[\cos(nx)\Bigr]_0^\pi
=-\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl(\cos(n\pi)-1\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl(1-(-1)^n\Bigr)
\end{array}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex1_c/10.png)
ainsi,
et
.
Comme
est continue sur
, on peut donc écrire que,
pour tout réel
,
![\[f(x)=\dfrac12
+\dfrac{8}{\pi^3}\sum_{n\geqslant0}\dfrac{\cos\left( (2n+1)x\right)}{(2n+1)^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex1_c/16.png)
Correction



![\[\begin{array}{ll}
a_0&\dsp=\dfrac{2}{2\pi}\int_0^\pi f(x)dx
=\dfrac1\pi\int_0^\pi \lp-\dfrac1\pi x+1\right) dx\\[1em]
&=\dfrac1\pi\Bigl[-\dfrac{1}{2\pi}x^2+x\Bigr]_0^\pi
=\dfrac1\pi\left( -\dfrac12\pi+pi\right)
=\dfrac12\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex1_c/4.png)
et pour tout entier

![\[a_n=\dfrac{4}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(n\omega x)dx\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex1_c/6.png)
avec

![$[0;2\pi]$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex1_c/8.png)

![\[\begin{array}{ll}
a_n&\dsp=\dfrac{4}{\pi}\int_0^\pi \lp-\dfrac1\pi x+1\right) \cos(nx)dx
=\dfrac{4}{n\pi}\Bigl[\lp-\dfrac1\pi x+1\rp\sin(nx)\Bigr]_0^\pi
+\dfrac{4}{n\pi^2}\int_0^\pi \sin(nx)dx \\[1em]
&=0-\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl[\cos(nx)\Bigr]_0^\pi
=-\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl(\cos(n\pi)-1\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl(1-(-1)^n\Bigr)
\end{array}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex1_c/10.png)
ainsi,


Comme



![\[f(x)=\dfrac12
+\dfrac{8}{\pi^3}\sum_{n\geqslant0}\dfrac{\cos\left( (2n+1)x\right)}{(2n+1)^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex1_c/16.png)
Tag:Série de Fourier
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