Série de Fourier associée à une fonction
- Série de Fourier
-
exemple complet
-
Valeur moyenne de
: coefficient
-
Calcul des coefficients
-
Calcul des coefficients
-
Série de Fourier de la fonction
- Les calculs incontournables
-
exemple complet
- Exercice complet corrigé
La série de Fourier associée à une fonction



où la pulsation



Déterminer la décomposition de la fonction
en série de Fourier
revient à déterminer les coefficients
(valeur moyenne de
), et pour
,
et
,
donnés par:
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll}
a_0
&\displaystyle =\dfrac{1}{T}\int_{\alp...
...ha+T} f(t)\sin\left(n\omega T\right)\,dt \\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img10.png)
pour un réel

exemple complet
Soit la fonction


![$\displaystyle f(t)=
\left\{\begin{array}{lll}
1 &\text{ si } & 0\leqslant t<\pi \\ [0.4cm]
-1 &\text{ si } & \pi\leqslant t<2\pi
\end{array}\right.
$](img14.png)

Calcul des coefficients de la série de Fourier:
La période de
est
, soit une pulsation
.
Valeur moyenne de
: coefficient
La valeur moyenne de
est:

Comme la fonction est définie par morceaux sur
![$ [0;2\pi]$](img19.png)

![\begin{displaymath}\begin{array}{lcll}
I
&=&\displaystyle \int_0^{\pi} f(t)\,dt ...
... - 0 \Bigr] &- \Bigl[ 2\pi - \pi\ \Bigr]
=\pi-\pi=0
\end{array}\end{displaymath}](img21.png)
Ainsi,
.
Remarque:
La fonction
étant impaire, on a directement
,
résultat que l'on retrouve ici...
Calcul des coefficients
Pour les autres coefficients:

On procède de la même façon pour calculer
:
![\begin{displaymath}\begin{array}{lccl}
I_n
&=&\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t)\,...
...{1}{n}\Bigl[ \sin(2n\pi)-\sin(n\pi)\Bigr]\\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img26.png)
or, pour tout entier




Remarque:
La fonction
étant impaire, on a aussi directement
,
résultat que l'on retrouve aussi ici...
Calcul des coefficients

On procède de la même façon pour calculer
:
![\begin{displaymath}\begin{array}{lccl}
J_n
&=&\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t)\,...
...{1}{n}\Bigl[ \cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\Bigr]\\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img33.png)
or, pour tout entier



et donc

Série de Fourier de la fonction
La série de Fourier associée à la fonction
s'écrit ainsi:

Remarque sur la parité de la fonction et ses conséquences
- en remarquant dès le début que
est impaire, les calculs peuvent s'effectuer plus rapidement et simplement en employant les formules adaptées des coefficients
et
(alors directement égaux à 0 , sans calculs), et de
.
(voir le cours et l'expression des coefficients de Fourier pour une fonction paire ou impaire; attention, ces expressions ne sont pas dans le formulaire du BTS).
- on peut aller un peu plus loin en remarquant que
pour tout entier
,
, et ainsi que les coefficients
de rang pair,
, sont nuls et que ceux de rang impair valent plus simplement
.
La série de Fourier s'écrit alors:
Les calculs incontournables
Le calcul des coefficients de Fourier d'une fonction quelconque
se ramène généralement (du moins pour le programme du BTS) aux
calculs suivants (à des coefficients multiplicatifs près):


et


ainsi que (plus rarement, mais à savoir calculer néanmoins)


Bien évidemment, ces calculs ne sont pas à connaître
par c
ur,
par contre il faut savoir les effectuer sans hésiter!
Calculs des intégrales
et


Ces calculs ont déjà été effectués lors des calculs des coefficients de Fourier du

On connaît ici directement des primitives de
et
:
![$\displaystyle I_n=\int_a^b \cos(n\omega t)\,dt
=\Bigl[ \dfrac{1}{n\omega} \sin...
...t)\Bigr]_a^b
=\dfrac{1}{n\omega}\Bigl[ \sin(n\omega b) - \sin(n\omega a)\Bigr]
$](img51.png)
![$\displaystyle I_n=\int_a^b \sin(n\omega t)\,dt
=\Bigl[ -\dfrac{1}{n\omega} \co...
...)\Bigr]_a^b
=-\dfrac{1}{n\omega}\Bigl[ \cos(n\omega b) - \cos(n\omega a)\Bigr]
$](img52.png)
Exemple / Exercice:
Calculer, pour tout entier
,


Calculs des intégrales
et


On peut ici (et doit...) utiliser une intégration par parties, dont on rappelle la formule générale:
![$\displaystyle \int_a^b u\,v' = \Bigl[\ u\,v\ \Bigr]_a^b - \int_a^b u'\,v
$](img65.png)
L'idée est de dériver le "
" dans les intégrales
et
afin de se retrouver avec des intégrales plus simples du type de
et
.
Calcul de
On intègre donc par parties
:
avec
soit,
et ainsi,
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll}
\displaystyle U_n
&\displaystyle =\int_a^b ...
...1}{n\omega} \int_a^b \sin(n\omega t)\,dt \\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img70.png)
et il n'y a plus qu'à calculer la dernière intégrale qui n'est autre que

Exemple / Exercice:
Calculer, pour tout entier

Calcul de
De même pour
,
on intègre donc par parties:
avec
soit,
et ainsi,
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll}
\displaystyle U_n
&\displaystyle =\int_a^b ...
...1}{n\omega} \int_a^b \cos(n\omega t)\,dt \\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img86.png)
et il n'y a plus qu'à calculer la dernière intégrale qui n'est autre que

Exemple:
Calculer, pour tout entier

Calculs des intégrales
et
Pour le calcul de
et
,


on utilise une double intégration par parties (c'est-à-dire deux intégrations par parties successives, l'une après l'autre):

avec
![$ \left\{\begin{array}{ll}
u(t)=t^2 \\ [0.4cm]
v'(t)=\cos(n\omega t)
\end{array}\right.$](img97.png)
![$ \left\{\begin{array}{ll}
u'(t)=2t \\ [0.4cm]
v(t)=\dfrac{1}{n\omega}\sin(n\omega t)
\end{array}\right.$](img98.png)
et ainsi,

et il ne reste plus qu'à calculer la dernière intégrale qui n'est autre que

exemple complet
Soit la fonction
, périodique de période 2, définie par

Calcul de la valeur moyenne de
: coefficient
La valeur moyenne de
est:

avec,
![\begin{displaymath}\begin{array}{llll}
I
&=&\displaystyle \int_0^2 f(t)\,dt \\ [...
...isplaystyle +2\Bigr[ 1\Bigl] \\ [0.4cm]
&=&\dfrac72
\end{array}\end{displaymath}](img104.png)
ainsi,

Calcul des coefficients

avec la période



On décompose l'intégrale en utilisant la définition par morceaux de

![\begin{displaymath}\begin{array}{llcl}
a_n
&=&\displaystyle \int_0^1 f(t)\,\cos(...
...splaystyle A_n
&\displaystyle + \ 2\ B_n \\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img110.png)
L'intégrale
se calcule en utilisant une intégration par parties
(cf. calcul de l'intégrale
), tandis que
s'intègre
directement en utilisant une primitive de
(cf. calcul de l'intégrale
):
![\begin{displaymath}\begin{array}{llll}
A_n
&=&\displaystyle \Bigl[ (t+1)\dfrac{1...
...rac{1}{n^2\pi^2}\Bigl[ \cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\Bigr]
\end{array}\end{displaymath}](img114.png)
or, pour tout entier



![\begin{displaymath}\begin{array}{llll}
B_n
&=&\displaystyle \int_1^2\cos(n\pi t)...
...dfrac{1}{n\pi}\Bigl[ \sin(2n\pi)-\sin(n\pi)\Bigr]=0
\end{array}\end{displaymath}](img117.png)
car, pour tout entier


Au final,

Calcul des coefficients
De même que pour les coefficients
,

On décompose l'intégrale en utilisant la définition par morceaux de

![\begin{displaymath}\begin{array}{llcl}
b_n
&=&\displaystyle \int_0^1 f(t)\,\sin(...
...splaystyle C_n
&\displaystyle + \ 2\ D_n \\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img121.png)
L'intégrale
se calcule en utilisant une intégration par parties
(cf. calcul de l'intégrale
), tandis que
s'intègre
directement en utilisant une primitive de
(cf. calcul de l'intégrale
):
![\begin{displaymath}\begin{array}{llll}
C_n
&=&\displaystyle \Bigl[ (t+1)\dfrac{-...
...rac{1}{n^2\pi^2}\Bigl[ \sin(2n\pi)-\sin(n\pi)\Bigr]
\end{array}\end{displaymath}](img125.png)
or, pour tout entier



![\begin{displaymath}\begin{array}{llll}
D_n
&=&\displaystyle \int_1^2\sin(n\pi t)...
...i)\Bigr]
=\dfrac{-1}{n\pi}\Bigl[ 1-\cos(n\pi)\Bigr]
\end{array}\end{displaymath}](img127.png)
.
Au final,

Exercice complet
(on ne peut plus typique des exercices de BTS sur les séries de Fourier... )
Soit la fonction
,
-périodique, définie par
- Donner la représentation graphique de
sur l'intervalle
.
- Détermination de la décomposition en série de
Fourier de
:
- a. Calculer la valeur moyenne
de
.
- b. Calculer les coefficients
,
.
- c. Calculer les coefficients
,
.
- a. Calculer la valeur moyenne
- Calculer la valeur efficace de
.
- Analyse / synthèse par séries de Fourier de signaux
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