Série de Fourier associée à une fonction
- Série de Fourier
-
exemple complet
-
Valeur moyenne de
: coefficient
-
Calcul des coefficients
-
Calcul des coefficients
-
Série de Fourier de la fonction
- Les calculs incontournables
-
exemple complet
- Exercice complet corrigé
La série de Fourier associée à une fonction
![$ f$](img1.png)
![$ T$](img2.png)
![$\displaystyle S(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)
$](img3.png)
où la pulsation
![$ \omega$](img4.png)
![$ T$](img2.png)
![$ \omega=\dfrac{2\pi}{T}$](img5.png)
Déterminer la décomposition de la fonction
en série de Fourier
revient à déterminer les coefficients
(valeur moyenne de
), et pour
,
et
,
donnés par:
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll}
a_0
&\displaystyle =\dfrac{1}{T}\int_{\alp...
...ha+T} f(t)\sin\left(n\omega T\right)\,dt \\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img10.png)
pour un réel
![$ \alpha$](img11.png)
exemple complet
Soit la fonction
![$ f$](img1.png)
![$ 2\pi$](img13.png)
![$\displaystyle f(t)=
\left\{\begin{array}{lll}
1 &\text{ si } & 0\leqslant t<\pi \\ [0.4cm]
-1 &\text{ si } & \pi\leqslant t<2\pi
\end{array}\right.
$](img14.png)
![\begin{pspicture}(-6,-3)(6,2)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-1.5)(0,1.5...
...4\pi$}
\rput(0,-2){Représentation graphique de la fonction $f$}
\end{pspicture}](img15.png)
Calcul des coefficients de la série de Fourier:
La période de
est
, soit une pulsation
.
Valeur moyenne de
: coefficient
La valeur moyenne de
est:
![$\displaystyle a_0=\dfrac{1}{T}\int_0^{T} f(t)\,dt
=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\,dt
=\dfrac{1}{2\pi} I
$](img18.png)
Comme la fonction est définie par morceaux sur
![$ [0;2\pi]$](img19.png)
![$ I$](img20.png)
![\begin{displaymath}\begin{array}{lcll}
I
&=&\displaystyle \int_0^{\pi} f(t)\,dt ...
... - 0 \Bigr] &- \Bigl[ 2\pi - \pi\ \Bigr]
=\pi-\pi=0
\end{array}\end{displaymath}](img21.png)
Ainsi,
.
Remarque:
La fonction
étant impaire, on a directement
,
résultat que l'on retrouve ici...
Calcul des coefficients
Pour les autres coefficients:
![\begin{displaymath}
\begin{array}{lll}
\displaystyle a_n=\dfrac{2}{T}\int_0^{T} ...
...int_0^{2\pi} f(t)\,\cos(nt)\,dt
=\dfrac{1}{\pi} I_n
\end{array}\end{displaymath}](img24.png)
On procède de la même façon pour calculer
:
![\begin{displaymath}\begin{array}{lccl}
I_n
&=&\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t)\,...
...{1}{n}\Bigl[ \sin(2n\pi)-\sin(n\pi)\Bigr]\\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img26.png)
or, pour tout entier
![$ n\geqslant 1$](img7.png)
![$ \sin(n\pi)=\sin(2n\pi)=0$](img27.png)
![$ I_n=0$](img28.png)
![$ a_n=\dfrac{1}{\pi}I_n=0$](img29.png)
Remarque:
La fonction
étant impaire, on a aussi directement
,
résultat que l'on retrouve aussi ici...
Calcul des coefficients
![\begin{displaymath}
\begin{array}{lll}
\displaystyle b_n=\dfrac{2}{T}\int_0^{T} ...
...int_0^{2\pi} f(t)\,\sin(nt)\,dt
=\dfrac{1}{\pi} J_n
\end{array}\end{displaymath}](img31.png)
On procède de la même façon pour calculer
:
![\begin{displaymath}\begin{array}{lccl}
J_n
&=&\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t)\,...
...{1}{n}\Bigl[ \cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\Bigr]\\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img33.png)
or, pour tout entier
![$ n\geqslant 1$](img7.png)
![$ \cos(2n\pi)=\cos(0)=1$](img34.png)
![$\displaystyle J_n=-\dfrac{1}{n}\Bigl( \cos(n\pi)-1\Bigr)
+\dfrac{1}{n}\Bigl( 1-\cos(n\pi)\Bigr)
=\dfrac{2}{n}\Bigl(1-\cos(n\pi)\Bigr)
$](img35.png)
et donc
![$ b_n=\dfrac{1}{\pi}J_n=
\dfrac{2}{n\pi}\Bigl(1-\cos(n\pi)\Bigr)$](img36.png)
Série de Fourier de la fonction
La série de Fourier associée à la fonction
s'écrit ainsi:
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll}
S(t)
&\displaystyle =a_0+\sum_{n=1}^{+\inft...
...ty}
\dfrac{1}{n}\Bigl(1-\cos(n\pi)\Bigr) \sin(n t)
\end{array}\end{displaymath}](img37.png)
Remarque sur la parité de la fonction et ses conséquences
- en remarquant dès le début que
est impaire, les calculs peuvent s'effectuer plus rapidement et simplement en employant les formules adaptées des coefficients
et
(alors directement égaux à 0 , sans calculs), et de
.
(voir le cours et l'expression des coefficients de Fourier pour une fonction paire ou impaire; attention, ces expressions ne sont pas dans le formulaire du BTS).
- on peut aller un peu plus loin en remarquant que
pour tout entier
,
, et ainsi que les coefficients
de rang pair,
, sont nuls et que ceux de rang impair valent plus simplement
.
La série de Fourier s'écrit alors:
Les calculs incontournables
Le calcul des coefficients de Fourier d'une fonction quelconque
se ramène généralement (du moins pour le programme du BTS) aux
calculs suivants (à des coefficients multiplicatifs près):
![$\displaystyle I_n=\int_a^b \cos(n\omega t)\,dt$](img42.png)
![$\displaystyle J_n=\int_a^b \sin(n\omega t)\,dt
$](img43.png)
et
![$\displaystyle U_n=\int_a^b t\,\cos(n\omega t)\,dt$](img44.png)
![$\displaystyle V_n=\int_a^b t\,\sin(n\omega t)\,dt
$](img45.png)
ainsi que (plus rarement, mais à savoir calculer néanmoins)
![$\displaystyle Y_n=\int_a^b t^2\,\cos(n\omega t)\,dt$](img46.png)
![$\displaystyle Z_n=\int_a^b t^2\,\sin(n\omega t)\,dt
$](img47.png)
Bien évidemment, ces calculs ne sont pas à connaître
par c
ur,
par contre il faut savoir les effectuer sans hésiter!
Calculs des intégrales
et
![$\displaystyle I_n=\int_a^b \cos(n\omega t)\,dt$](img42.png)
![$\displaystyle J_n=\int_a^b \sin(n\omega t)\,dt
$](img43.png)
Ces calculs ont déjà été effectués lors des calculs des coefficients de Fourier du
![$ 1^{\text{er}}$](img12.png)
On connaît ici directement des primitives de
et
:
![$\displaystyle I_n=\int_a^b \cos(n\omega t)\,dt
=\Bigl[ \dfrac{1}{n\omega} \sin...
...t)\Bigr]_a^b
=\dfrac{1}{n\omega}\Bigl[ \sin(n\omega b) - \sin(n\omega a)\Bigr]
$](img51.png)
![$\displaystyle I_n=\int_a^b \sin(n\omega t)\,dt
=\Bigl[ -\dfrac{1}{n\omega} \co...
...)\Bigr]_a^b
=-\dfrac{1}{n\omega}\Bigl[ \cos(n\omega b) - \cos(n\omega a)\Bigr]
$](img52.png)
Exemple / Exercice:
Calculer, pour tout entier
,
![$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}
\cos\left(3nt\right)\,dt$](img53.png)
![$\displaystyle \quad
J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\left(3nt\right)\,dt\ .$](img54.png)
Calculs des intégrales
et
![$\displaystyle U_n=\int_a^b t\,\cos(n\omega t)\,dt$](img44.png)
![$\displaystyle V_n=\int_a^b t\,\sin(n\omega t)\,dt
$](img45.png)
On peut ici (et doit...) utiliser une intégration par parties, dont on rappelle la formule générale:
![$\displaystyle \int_a^b u\,v' = \Bigl[\ u\,v\ \Bigr]_a^b - \int_a^b u'\,v
$](img65.png)
L'idée est de dériver le "
" dans les intégrales
et
afin de se retrouver avec des intégrales plus simples du type de
et
.
Calcul de
On intègre donc par parties
:
avec
soit,
et ainsi,
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll}
\displaystyle U_n
&\displaystyle =\int_a^b ...
...1}{n\omega} \int_a^b \sin(n\omega t)\,dt \\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img70.png)
et il n'y a plus qu'à calculer la dernière intégrale qui n'est autre que
![$ J_n$](img32.png)
Exemple / Exercice:
Calculer, pour tout entier![$ n\geqslant 1$](img7.png)
![$ \displaystyle U_n=\int_0^\pi t\cos(nt)\,dt$](img71.png)
Calcul de
De même pour
,
on intègre donc par parties:
avec
soit,
et ainsi,
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll}
\displaystyle U_n
&\displaystyle =\int_a^b ...
...1}{n\omega} \int_a^b \cos(n\omega t)\,dt \\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img86.png)
et il n'y a plus qu'à calculer la dernière intégrale qui n'est autre que
![$ I_n$](img25.png)
Exemple:
Calculer, pour tout entier![$ n\geqslant 1$](img7.png)
![$ \displaystyle U_n=\int_0^\pi t\sin(nt)\,dt$](img87.png)
Calculs des intégrales
et
Pour le calcul de
et
,
![$\displaystyle Y_n=\int_a^b t^2\,\cos(n\omega t)\,dt$](img46.png)
![$\displaystyle Z_n=\int_a^b t^2\,\sin(n\omega t)\,dt
$](img47.png)
on utilise une double intégration par parties (c'est-à-dire deux intégrations par parties successives, l'une après l'autre):
![$\displaystyle Y_n=\int_a^b t^2\,\cos(n\omega t)\,dt
=\int_a^b u\,v' $](img96.png)
avec
![$ \left\{\begin{array}{ll}
u(t)=t^2 \\ [0.4cm]
v'(t)=\cos(n\omega t)
\end{array}\right.$](img97.png)
![$ \left\{\begin{array}{ll}
u'(t)=2t \\ [0.4cm]
v(t)=\dfrac{1}{n\omega}\sin(n\omega t)
\end{array}\right.$](img98.png)
et ainsi,
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll}
Y_n
&\displaystyle =\int_a^b t^2\,\cos(n\om...
...\dfrac{2}{n\omega}\int_a^b t\, \sin(n\omega t)\,dt
\end{array}\end{displaymath}](img99.png)
et il ne reste plus qu'à calculer la dernière intégrale qui n'est autre que
![$ V_n$](img64.png)
exemple complet
Soit la fonction
, périodique de période 2, définie par
![\begin{pspicture}(-6,-2)(6,3)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-1.)(0,2.5)...
...$4$}
\rput(0,-1.5){Représentation graphique de la fonction $f$}
\end{pspicture}](img102.png)
Calcul de la valeur moyenne de
: coefficient
La valeur moyenne de
est:
![$\displaystyle a_0=\dfrac{1}{T}\int_0^T f(t)\,dt
=\dfrac{1}{2} \int_0^2 f(t)\,dt
=\dfrac12 I
$](img103.png)
avec,
![\begin{displaymath}\begin{array}{llll}
I
&=&\displaystyle \int_0^2 f(t)\,dt \\ [...
...isplaystyle +2\Bigr[ 1\Bigl] \\ [0.4cm]
&=&\dfrac72
\end{array}\end{displaymath}](img104.png)
ainsi,
![$ a_0=\dfrac12 I = \dfrac74$](img105.png)
Calcul des coefficients
![$\displaystyle a_n=\dfrac{2}{T}\int_0^T f(t)\,\cos(n\omega t)\,dt
$](img106.png)
avec la période
![$ T=2$](img107.png)
![$ \omega=\dfrac{2\pi}{T}=\pi$](img108.png)
![$\displaystyle a_n=\dfrac{2}{2}\int_0^2 f(t)\,\cos(n\pi t)\,dt
=\int_0^2 f(t)\,\cos(n\pi t)\,dt
$](img109.png)
On décompose l'intégrale en utilisant la définition par morceaux de
![$ f$](img1.png)
![\begin{displaymath}\begin{array}{llcl}
a_n
&=&\displaystyle \int_0^1 f(t)\,\cos(...
...splaystyle A_n
&\displaystyle + \ 2\ B_n \\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img110.png)
L'intégrale
se calcule en utilisant une intégration par parties
(cf. calcul de l'intégrale
), tandis que
s'intègre
directement en utilisant une primitive de
(cf. calcul de l'intégrale
):
![\begin{displaymath}\begin{array}{llll}
A_n
&=&\displaystyle \Bigl[ (t+1)\dfrac{1...
...rac{1}{n^2\pi^2}\Bigl[ \cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\Bigr]
\end{array}\end{displaymath}](img114.png)
or, pour tout entier
![$ n$](img80.png)
![$ \cos(2n\pi)=1$](img115.png)
![$ A_n=\dfrac{1}{n^2\pi^2} \left(1-\cos(n\pi)\right)
$](img116.png)
![\begin{displaymath}\begin{array}{llll}
B_n
&=&\displaystyle \int_1^2\cos(n\pi t)...
...dfrac{1}{n\pi}\Bigl[ \sin(2n\pi)-\sin(n\pi)\Bigr]=0
\end{array}\end{displaymath}](img117.png)
car, pour tout entier
![$ n$](img80.png)
![$ \sin(2n\pi)=\sin(n\pi)=0$](img118.png)
Au final,
![$\displaystyle a_n=A_n+2B_n=
\dfrac{1}{n^2\pi^2} \left(1-\cos(n\pi)\right)
$](img119.png)
Calcul des coefficients
De même que pour les coefficients
,
![$\displaystyle b_n=\dfrac{2}{2}\int_0^2 f(t)\,\sin(n\pi t)\,dt
=\int_0^2 f(t)\,\sin(n\pi t)\,dt
$](img120.png)
On décompose l'intégrale en utilisant la définition par morceaux de
![$ f$](img1.png)
![\begin{displaymath}\begin{array}{llcl}
b_n
&=&\displaystyle \int_0^1 f(t)\,\sin(...
...splaystyle C_n
&\displaystyle + \ 2\ D_n \\ [0.4cm]
\end{array}\end{displaymath}](img121.png)
L'intégrale
se calcule en utilisant une intégration par parties
(cf. calcul de l'intégrale
), tandis que
s'intègre
directement en utilisant une primitive de
(cf. calcul de l'intégrale
):
![\begin{displaymath}\begin{array}{llll}
C_n
&=&\displaystyle \Bigl[ (t+1)\dfrac{-...
...rac{1}{n^2\pi^2}\Bigl[ \sin(2n\pi)-\sin(n\pi)\Bigr]
\end{array}\end{displaymath}](img125.png)
or, pour tout entier
![$ n$](img80.png)
![$ \sin(2n\pi)=\sin(n\pi)=0$](img118_2.png)
![$ C_n=\dfrac{-1}{n^2\pi^2} \left(2\cos(n\pi)-1\right)
=\dfrac{1}{n^2\pi^2} \left(1-2\cos(n\pi)\right)
$](img126.png)
![\begin{displaymath}\begin{array}{llll}
D_n
&=&\displaystyle \int_1^2\sin(n\pi t)...
...i)\Bigr]
=\dfrac{-1}{n\pi}\Bigl[ 1-\cos(n\pi)\Bigr]
\end{array}\end{displaymath}](img127.png)
.
Au final,
![$\displaystyle b_n=C_n+2D_n=
\dfrac{1}{n^2\pi^2} \left(1-2\cos(n\pi)\right)
-\dfrac{2}{n\pi}\left(1-\cos(n\pi)\right)
$](img128.png)
Exercice complet
(on ne peut plus typique des exercices de BTS sur les séries de Fourier... )
Soit la fonction
,
-périodique, définie par
- Donner la représentation graphique de
sur l'intervalle
.
- Détermination de la décomposition en série de
Fourier de
:
- a. Calculer la valeur moyenne
de
.
- b. Calculer les coefficients
,
.
- c. Calculer les coefficients
,
.
- a. Calculer la valeur moyenne
- Calculer la valeur efficace de
.
- Analyse / synthèse par séries de Fourier de signaux
- Vers d'autres cours interactifs, avec exercices corrigés
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