Série de Fourier associée à une fonction $ f$




La série de Fourier associée à une fonction $ f$ , périodique de période $ T$ , s'écrit:

$\displaystyle S(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t) $

où la pulsation $ \omega$ est reliée à la période $ T$ par la relation $ \omega=\dfrac{2\pi}{T}$ .


Déterminer la décomposition de la fonction $ f$ en série de Fourier revient à déterminer les coefficients $ a_0$ (valeur moyenne de $ f$ ), et pour $ n\geqslant 1$ , $ a_n$ et $ b_n$ , donnés par:

\begin{displaymath}\begin{array}{ll} a_0 &\displaystyle =\dfrac{1}{T}\int_{\alp... ...ha+T} f(t)\sin\left(n\omega T\right)\,dt \\ [0.4cm] \end{array}\end{displaymath}

pour un réel $ \alpha$ quelconque.

$ 1^{\text{er}}$ exemple complet

Soit la fonction $ f$ périodique de période $ 2\pi$ définie par
$\displaystyle f(t)= \left\{\begin{array}{lll} 1 &\text{ si } & 0\leqslant t<\pi \\ [0.4cm] -1 &\text{ si } & \pi\leqslant t<2\pi \end{array}\right. $


\begin{pspicture}(-6,-3)(6,2) \psline{->}(-5,0)(5,0) \psline{->}(0,-1.5)(0,1.5... ...4\pi$} \rput(0,-2){Représentation graphique de la fonction $f$} \end{pspicture}

Calcul des coefficients de la série de Fourier: La période de $ f$ est $ T=2\pi$ , soit une pulsation $ \omega=\dfrac{2\pi}{T}=1$ .

Valeur moyenne de $ f$ : coefficient $ a_0$

La valeur moyenne de $ f$ est:

$\displaystyle a_0=\dfrac{1}{T}\int_0^{T} f(t)\,dt =\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\,dt =\dfrac{1}{2\pi} I $

Comme la fonction est définie par morceaux sur $ [0;2\pi]$ , on décompose aussi l'intégrale $ I$ en 2 morceaux (relation de Chasles pour les intégrales):

\begin{displaymath}\begin{array}{lcll} I &=&\displaystyle \int_0^{\pi} f(t)\,dt ... ... - 0 \Bigr] &- \Bigl[ 2\pi - \pi\ \Bigr] =\pi-\pi=0 \end{array}\end{displaymath}

Ainsi, $ a_0=\dfrac{1}{2\pi}\times 0=0$ .


Remarque: La fonction $ f$ étant impaire, on a directement $ a_0=0$ , résultat que l'on retrouve ici...

Calcul des coefficients $ a_n$

Pour les autres coefficients:

\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \displaystyle a_n=\dfrac{2}{T}\int_0^{T} ... ...int_0^{2\pi} f(t)\,\cos(nt)\,dt =\dfrac{1}{\pi} I_n \end{array}\end{displaymath}

On procède de la même façon pour calculer $ I_n$ :

\begin{displaymath}\begin{array}{lccl} I_n &=&\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t)\,... ...{1}{n}\Bigl[ \sin(2n\pi)-\sin(n\pi)\Bigr]\\ [0.4cm] \end{array}\end{displaymath}

or, pour tout entier $ n\geqslant 1$ , $ \sin(n\pi)=\sin(2n\pi)=0$ , d'où, $ I_n=0$ , et donc $ a_n=\dfrac{1}{\pi}I_n=0$


Remarque: La fonction $ f$ étant impaire, on a aussi directement $ a_n=0$ , résultat que l'on retrouve aussi ici...



Calcul des coefficients $ b_n$

\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \displaystyle b_n=\dfrac{2}{T}\int_0^{T} ... ...int_0^{2\pi} f(t)\,\sin(nt)\,dt =\dfrac{1}{\pi} J_n \end{array}\end{displaymath}

On procède de la même façon pour calculer $ J_n$ :

\begin{displaymath}\begin{array}{lccl} J_n &=&\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t)\,... ...{1}{n}\Bigl[ \cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\Bigr]\\ [0.4cm] \end{array}\end{displaymath}

or, pour tout entier $ n\geqslant 1$ , $ \cos(2n\pi)=\cos(0)=1$ d'où,
$\displaystyle J_n=-\dfrac{1}{n}\Bigl( \cos(n\pi)-1\Bigr) +\dfrac{1}{n}\Bigl( 1-\cos(n\pi)\Bigr) =\dfrac{2}{n}\Bigl(1-\cos(n\pi)\Bigr) $

et donc $ b_n=\dfrac{1}{\pi}J_n= \dfrac{2}{n\pi}\Bigl(1-\cos(n\pi)\Bigr)$

Série de Fourier de la fonction $ f$

La série de Fourier associée à la fonction $ f$ s'écrit ainsi:

\begin{displaymath}\begin{array}{ll} S(t) &\displaystyle =a_0+\sum_{n=1}^{+\inft... ...ty} \dfrac{1}{n}\Bigl(1-\cos(n\pi)\Bigr) \sin(n t) \end{array}\end{displaymath}

Remarque sur la parité de la fonction et ses conséquences

Les calculs incontournables

Le calcul des coefficients de Fourier d'une fonction quelconque $ f$ se ramène généralement (du moins pour le programme du BTS) aux calculs suivants (à des coefficients multiplicatifs près):

$\displaystyle I_n=\int_a^b \cos(n\omega t)\,dt$   et,  $\displaystyle J_n=\int_a^b \sin(n\omega t)\,dt $

et
$\displaystyle U_n=\int_a^b t\,\cos(n\omega t)\,dt$   et,  $\displaystyle V_n=\int_a^b t\,\sin(n\omega t)\,dt $

ainsi que (plus rarement, mais à savoir calculer néanmoins)
$\displaystyle Y_n=\int_a^b t^2\,\cos(n\omega t)\,dt$   et,  $\displaystyle Z_n=\int_a^b t^2\,\sin(n\omega t)\,dt $

Bien évidemment, ces calculs ne sont pas à connaître par c \oeur, par contre il faut savoir les effectuer sans hésiter!

Calculs des intégrales $ I_n$ et $ J_n$

$\displaystyle I_n=\int_a^b \cos(n\omega t)\,dt$   et,  $\displaystyle J_n=\int_a^b \sin(n\omega t)\,dt $

Ces calculs ont déjà été effectués lors des calculs des coefficients de Fourier du $ 1^{\text{er}}$ exemple.


On connaît ici directement des primitives de $ \cos(n\omega t)$ et $ \sin(n\omega t)$ :

$\displaystyle I_n=\int_a^b \cos(n\omega t)\,dt =\Bigl[ \dfrac{1}{n\omega} \sin... ...t)\Bigr]_a^b =\dfrac{1}{n\omega}\Bigl[ \sin(n\omega b) - \sin(n\omega a)\Bigr] $

$\displaystyle I_n=\int_a^b \sin(n\omega t)\,dt =\Bigl[ -\dfrac{1}{n\omega} \co... ...)\Bigr]_a^b =-\dfrac{1}{n\omega}\Bigl[ \cos(n\omega b) - \cos(n\omega a)\Bigr] $



Exemple / Exercice:

Calculer, pour tout entier $ n\geqslant 1$ ,

$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\left(3nt\right)\,dt$     et  $\displaystyle \quad J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\left(3nt\right)\,dt\ .$





Calculs des intégrales $ U_n$ et $ V_n$

$\displaystyle U_n=\int_a^b t\,\cos(n\omega t)\,dt$   et,  $\displaystyle V_n=\int_a^b t\,\sin(n\omega t)\,dt $

On peut ici (et doit...) utiliser une intégration par parties, dont on rappelle la formule générale:

$\displaystyle \int_a^b u\,v' = \Bigl[\ u\,v\ \Bigr]_a^b - \int_a^b u'\,v $

L'idée est de dériver le " $ t$ " dans les intégrales $ U_n$ et $ V_n$ afin de se retrouver avec des intégrales plus simples du type de $ I_n$ et $ J_n$ .

Calcul de $ U_n$

On intègre donc par parties $ U_n$ : $ \displaystyle U_n=\int_a^b t\,\cos(n\omega t)\,dt =\int_a^b u\,v' $


avec $ \left\{\begin{array}{ll} u(t)=t \\ [0.4cm] v'(t)=\cos(n\omega t) \end{array}\right.$ soit, $ \left\{\begin{array}{ll} u'(t)=1 \\ [0.4cm] v(t)=\dfrac{1}{n\omega}\sin(n\omega t) \end{array}\right.$


et ainsi,


\begin{displaymath}\begin{array}{ll} \displaystyle U_n &\displaystyle =\int_a^b ... ...1}{n\omega} \int_a^b \sin(n\omega t)\,dt \\ [0.4cm] \end{array}\end{displaymath}

et il n'y a plus qu'à calculer la dernière intégrale qui n'est autre que $ J_n$ dont le calcul est détaillé dans le paragraphe précédent.



Exemple / Exercice:

Calculer, pour tout entier $ n\geqslant 1$ ,      $ \displaystyle U_n=\int_0^\pi t\cos(nt)\,dt$ .


Calcul de $ V_n$

De même pour $ V_n$ , on intègre donc par parties: $ \displaystyle V_n=\int_a^b t\,\sin(n\omega t)\,dt =\int_a^b u\,v' $


avec $ \left\{\begin{array}{ll} u(t)=t \\ [0.4cm] v'(t)=\sin(n\omega t) \end{array}\right.$ soit, $ \left\{\begin{array}{ll} u'(t)=1 \\ [0.4cm] v(t)=\dfrac{{\bf\textcolor{red}{-}}1}{n\omega}\cos(n\omega t) \end{array}\right.$ et ainsi,



\begin{displaymath}\begin{array}{ll} \displaystyle U_n &\displaystyle =\int_a^b ... ...1}{n\omega} \int_a^b \cos(n\omega t)\,dt \\ [0.4cm] \end{array}\end{displaymath}

et il n'y a plus qu'à calculer la dernière intégrale qui n'est autre que $ I_n$ dont le calcul est détaillé dans le paragraphe précédent.



Exemple:

Calculer, pour tout entier $ n\geqslant 1$ ,      $ \displaystyle U_n=\int_0^\pi t\sin(nt)\,dt$ .


Calculs des intégrales $ Y_n$ et $ Z_n$

Pour le calcul de $ Y_n$ et $ Z_n$ ,

$\displaystyle Y_n=\int_a^b t^2\,\cos(n\omega t)\,dt$   et,  $\displaystyle Z_n=\int_a^b t^2\,\sin(n\omega t)\,dt $

on utilise une double intégration par parties (c'est-à-dire deux intégrations par parties successives, l'une après l'autre):
$\displaystyle Y_n=\int_a^b t^2\,\cos(n\omega t)\,dt =\int_a^b u\,v' $

avec $ \left\{\begin{array}{ll} u(t)=t^2 \\ [0.4cm] v'(t)=\cos(n\omega t) \end{array}\right.$ soit, $ \left\{\begin{array}{ll} u'(t)=2t \\ [0.4cm] v(t)=\dfrac{1}{n\omega}\sin(n\omega t) \end{array}\right.$


et ainsi,

\begin{displaymath}\begin{array}{ll} Y_n &\displaystyle =\int_a^b t^2\,\cos(n\om... ...\dfrac{2}{n\omega}\int_a^b t\, \sin(n\omega t)\,dt \end{array}\end{displaymath}

et il ne reste plus qu'à calculer la dernière intégrale qui n'est autre que $ V_n$ , calculée dans le paragraphe précédent.

$ 2^{\text{\mbox{ème}}}$ exemple complet

Soit la fonction $ f$ , périodique de période 2, définie par \begin{displaymath} f(t)=\left\{ \begin{array}{lll} t+1 & \text{ si } & 0\leqsla... ...\ [0.4cm] 2 & \text{ si } & 1\leqslant t <2 \end{array}\right.\end{displaymath}


\begin{pspicture}(-6,-2)(6,3) \psline{->}(-5,0)(5,0) \psline{->}(0,-1.)(0,2.5)... ...$4$} \rput(0,-1.5){Représentation graphique de la fonction $f$} \end{pspicture}

Calcul de la valeur moyenne de $ f$ : coefficient $ a_0$

La valeur moyenne de $ f$ est:

$\displaystyle a_0=\dfrac{1}{T}\int_0^T f(t)\,dt =\dfrac{1}{2} \int_0^2 f(t)\,dt =\dfrac12 I $

avec,
\begin{displaymath}\begin{array}{llll} I &=&\displaystyle \int_0^2 f(t)\,dt \\ [... ...isplaystyle +2\Bigr[ 1\Bigl] \\ [0.4cm] &=&\dfrac72 \end{array}\end{displaymath}

ainsi, $ a_0=\dfrac12 I = \dfrac74$ .

Calcul des coefficients $ a_n$

$\displaystyle a_n=\dfrac{2}{T}\int_0^T f(t)\,\cos(n\omega t)\,dt $

avec la période $ T=2$ et donc la pulsation $ \omega=\dfrac{2\pi}{T}=\pi$ ,
$\displaystyle a_n=\dfrac{2}{2}\int_0^2 f(t)\,\cos(n\pi t)\,dt =\int_0^2 f(t)\,\cos(n\pi t)\,dt $

On décompose l'intégrale en utilisant la définition par morceaux de $ f$ :
\begin{displaymath}\begin{array}{llcl} a_n &=&\displaystyle \int_0^1 f(t)\,\cos(... ...splaystyle A_n &\displaystyle + \ 2\ B_n \\ [0.4cm] \end{array}\end{displaymath}

L'intégrale $ A_n$ se calcule en utilisant une intégration par parties (cf. calcul de l'intégrale $ U_n$ ), tandis que $ B_n$ s'intègre directement en utilisant une primitive de $ \cos(n\pi t)$ (cf. calcul de l'intégrale $ I_n$ ):

\begin{displaymath}\begin{array}{llll} A_n &=&\displaystyle \Bigl[ (t+1)\dfrac{1... ...rac{1}{n^2\pi^2}\Bigl[ \cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\Bigr] \end{array}\end{displaymath}

or, pour tout entier $ n$ , $ \cos(2n\pi)=1$ , d'où $ A_n=\dfrac{1}{n^2\pi^2} \left(1-\cos(n\pi)\right) $ .

\begin{displaymath}\begin{array}{llll} B_n &=&\displaystyle \int_1^2\cos(n\pi t)... ...dfrac{1}{n\pi}\Bigl[ \sin(2n\pi)-\sin(n\pi)\Bigr]=0 \end{array}\end{displaymath}

car, pour tout entier $ n$ , $ \sin(2n\pi)=\sin(n\pi)=0$ .

Au final,

$\displaystyle a_n=A_n+2B_n= \dfrac{1}{n^2\pi^2} \left(1-\cos(n\pi)\right) $

Calcul des coefficients $ b_n$

De même que pour les coefficients $ a_n$ ,

$\displaystyle b_n=\dfrac{2}{2}\int_0^2 f(t)\,\sin(n\pi t)\,dt =\int_0^2 f(t)\,\sin(n\pi t)\,dt $

On décompose l'intégrale en utilisant la définition par morceaux de $ f$ :
\begin{displaymath}\begin{array}{llcl} b_n &=&\displaystyle \int_0^1 f(t)\,\sin(... ...splaystyle C_n &\displaystyle + \ 2\ D_n \\ [0.4cm] \end{array}\end{displaymath}

L'intégrale $ C_n$ se calcule en utilisant une intégration par parties (cf. calcul de l'intégrale $ V_n$ ), tandis que $ D_n$ s'intègre directement en utilisant une primitive de $ \sin(n\pi t)$ (cf. calcul de l'intégrale $ J_n$ ):

\begin{displaymath}\begin{array}{llll} C_n &=&\displaystyle \Bigl[ (t+1)\dfrac{-... ...rac{1}{n^2\pi^2}\Bigl[ \sin(2n\pi)-\sin(n\pi)\Bigr] \end{array}\end{displaymath}

or, pour tout entier $ n$ , $ \sin(2n\pi)=\sin(n\pi)=0$ , d'où $ C_n=\dfrac{-1}{n^2\pi^2} \left(2\cos(n\pi)-1\right) =\dfrac{1}{n^2\pi^2} \left(1-2\cos(n\pi)\right) $ .

\begin{displaymath}\begin{array}{llll} D_n &=&\displaystyle \int_1^2\sin(n\pi t)... ...i)\Bigr] =\dfrac{-1}{n\pi}\Bigl[ 1-\cos(n\pi)\Bigr] \end{array}\end{displaymath}

.

Au final,

$\displaystyle b_n=C_n+2D_n= \dfrac{1}{n^2\pi^2} \left(1-2\cos(n\pi)\right) -\dfrac{2}{n\pi}\left(1-\cos(n\pi)\right) $

Exercice complet

(on ne peut plus typique des exercices de BTS sur les séries de Fourier... )

Soit la fonction $ f$ , $ \pi$ -périodique, définie par $ f(t)= \left\{\begin{array}{lll} t & \text{si} & 0\leqslant t \leqslant \dfrac{... ...\\ [0.4cm] \dfrac{\pi}{2} & \text{si} & \dfrac{\pi}{2}<t<\pi \end{array}\right.$


  1. Donner la représentation graphique de $ f$ sur l'intervalle $ [-2\pi;2\pi]$ .
  2. Détermination de la décomposition en série de Fourier de $ f$ :
    a. Calculer la valeur moyenne $ a_0$ de $ f$ .

    b. Calculer les coefficients $ a_n$ , $ n\geqslant 1$ .
    c. Calculer les coefficients $ b_n$ , $ n\geqslant 1$ .
  3. Calculer la valeur efficace de $ f$ .
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