Série de Fourier

Trois exemples de signaux et recomposition harmonique

La fonction a une moyenne nulle, donc ,
elle est impaire donc pour tout entier ,
elle est 2 $\pi$ -périodique et impaire donc, avec $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1$ , pour tout entier $n\geqslant 1$ ,

$\begin{array}{ll} b_n&\dsp=\dfrac4T\int_0^\pi f(t)\sin\left( n\omega t\rp\,dt \\[1.2em] &\dsp=\dfrac2\pi\int_0^\pi \sin\left( nt\rp\,dt \\[1.2em] &\dsp=\dfrac2\pi\Bigl[\,-\dfrac{\cos(nt)}{n}\,\Bigr]_0^\pi\\[1.2em] &\dsp=\dfrac2{n\pi}\Bigl(-\cos(n\pi)-1\Bigr)\\[1.2em] &\dsp=\dfrac2{n\pi}\Bigl(1-(-1)^n\Bigr) \enar$

et donc, les termes de rang pair sont nuls: $b_{2p}=0$ et ceux de rang impair valent $b_{2p+1}=\dfrac4{(2p+1)\pi}$ .
On obtient alors, en tout poit où est continue, donc pour tout $x\not=k\pi$ , $k\in\Z$ ,

$f(x)=\dfrac4\pi\sum_{p\geqslant1}\dfrac{\sin\bigl((2p+1)x\bigr)}{2p+1}$

Voir aussi: