Jeu du chaos

Autosimilarité fractale dans un polygone

Principe

Le jeu du chaos a été introduit par Michael Barnsley pour désigner une méthode simple et rapide de génération de motifs fractals.
C'est un algorithme simple et efficace pour construire l'attracteur d'un système de fonctions itérées (IFS).

On se place dans un polygone à

sommets

, …,

et on se donne un rapport

.

On part d'un point initial

quelconque dans ce polygone.
On tire ensuite un sommet

au hasard et construit le point

à une fraction donnée,

, de la distance de

au sommet

.
Plus précisément

vérifie $\overrightarrow{M_2S_i}=k\overrightarrow{M_1S_i}$ .
Pour $k=\dfrac12$ par exemple,

est le milieu de

.
On tire un nouveau sommet au hasard

et construit le point suivant

tel que $\overrightarrow{M_3S_j}=k\overrightarrow{M_2S_j}$ .
On réitère ensuite pour construire autant de point que souhaité…

Avec trois sommets et un rapport $k=\dfrac12$ on construit de cette faç on le triangle de Sierpinski.

Résultats, animation

On peut ici faire varier le nombre sommets, le nombre points tracés, et aussi le rapport de contraction, éventuellement en affectant un rapport différent à chaque sommet.

Variantes

Un des avantages du jeu du chaos est qu'on peut facilement jouer (justement…) avec les règles. On peut par exemple imposer qu'un même sommet ne soit pas choisi deux fois consécutivement

ou encore interdire une zone dans le polygone: cette zone se retrouve alors comme motif dans la géométrie fractale