Variations et extrema

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=2x+\dfrac{1}{2x+1}$
Préciser les valeurs des extrema.


Correction

Correction

On a $f=u+\dfrac{1}{v}$ avec $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$, et $v(x)=2x+1$, donc $v'(x)=2$, et alors $f'=u'-\dfrac{v'}{v^2}$, soit $f'(x)=2-\dfrac{2}{(2x+1)^2} =\dfrac{2(2x+1)^2-2}{(2x+1)^2} =\dfrac{8x^2+8x}{(2x+1)^2} =\dfrac{8x(x+1)}{(2x+1)^2}$
Le numérateur est un trinôme du second degré de racines mises en évidence: 0 et $-1$.
Le dénominateur est un carré, nul en $x=-\dfrac12$ et strictement positif illeurs.
On dresse ainsi le tableau de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $-1/2$ && $0$ && $+\infty$ \\\hline $8x(x+1)$ && $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &$|$& $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $+$ & \\\hline $(2x+1)^2$ && $+$ & $|$ & $+$ &\zb& $+$ &$|$& $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ && $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $+$ & \\\hline &&&$-3$&&&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \psline(0,-.7)(0,1.5)\psline(0.08,-.7)(0.08,1.5) &\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&3&&\\\hline \end{tabular}\]



Tag:Fonctions et dérivées

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