Variation d'une fonction
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Dresser le tableau de variation de la fonction
définie par
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation/1.png)
![$f(x)=x-2+\dfrac{4}{x-2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation/2.png)
Correction
.
On a
, d'où
,
soit
Le numérateur et un trinôme du second degré qui admet deux racines:
donc
et
.
Le dénominateur s'annule en
qui est donc une valeur interdite.
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 0 && 2 && 4 && $+\infty$ \\\hline
$x^2-4x$ && $+$ &\zb& $-$ &$|$ & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
$(x-2)^2$ && $+$ &$|$& $+$ &\zb& $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
&&&&&&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/9.png)
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![$f(x)=x-2+\dfrac{4}{x-2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/1.png)
On a
![$f=u+4\dfrac1v$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/2.png)
![$f'=u'+4\dfrac{-v'}{v^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/3.png)
![$f'(x)=1+4\dfrac{-1}{(x-2)^2}=\dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/4.png)
Le numérateur et un trinôme du second degré qui admet deux racines:
![$x^2-4x=0\iff x(x-4)=0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/5.png)
![$x=0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/6.png)
![$x=4$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/7.png)
Le dénominateur s'annule en
![$x=2$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/8.png)
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 0 && 2 && 4 && $+\infty$ \\\hline
$x^2-4x$ && $+$ &\zb& $-$ &$|$ & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
$(x-2)^2$ && $+$ &$|$& $+$ &\zb& $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
&&&&&&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/9.png)
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Tag:Fonctions et dérivées
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