Tableau des variations d'une fonction

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Déterminer le sens de variation de la fonction

définie par l'expression $f(x)=2x+\dfrac{8}{x}$ .

Correction

La fonction

est définie et dérivable sur $\R^*$ avec, pour tout réel $x\not=0$ ,

$\begin{array}{ll}f'(x) &=2-\dfrac{8}{x^2}\\ &=\dfrac{2x^2-8}{x^2}\\ &=2\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}\enar$

Le numérateur est du second degré, avec les racines (mises en évidence)

, d'où le tableau de signes et de variations

$\begin{tabular}[t]{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $0$ && $2$ && $+\infty$ \\\hline $(x-2)(x+2)$ && $+$ &\zb&$-$&$|$&$-$&\zb&$+$&\\\hline $x^2$ && $+$ &$|$&$+$&\zb&$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\db&$-$&\zb&$+$&\\\hline &&&$-8$&&&&&&\\ $f$&&\psline{->}(-0.5,-0.3)(0.5,0.4)&& \psline{->}(-0.5,0.4)(0.5,-0.3)& \psline(0,0.7)(0,-0.5)\psline(0.1,0.7)(0.1,-0.5)& \psline{->}(-0.4,0.4)(0.5,-0.3)&& \psline{->}(-0.5,-0.3)(0.5,0.4)&\\ &&&&&&&8&&\\\hline \end{tabular}$

Tag:Fonctions et dérivées

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