Suite définie par récurrence et suite intermédiaire géométrique
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
On considère la suite
définie par son premier terme
et par la relation, pour tout entier naturel
,
.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex9/1.png)
![$u_0=1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex9/2.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex9/3.png)
![$u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex9/4.png)
- Calculer
et
.
- Montrer que
n'est ni arithmétique, ni géométrique.
- On pose, pour tout entier naturel
,
.
- Montrer que
est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison.
- Exprimer
en fonction de
.
- En déduire l'expression de
en fonction de
.
- Montrer que
Correction
On considère la suite
définie par son premier terme
et par la relation, pour tout entier naturel
,
.
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On considère la suite
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex9_c/1.png)
![$u_0=1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex9_c/2.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex9_c/3.png)
![$u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex9_c/4.png)
-
et
.
- On a
donc
n'est pas arithmétique.
De même,donc
n'est pas géométrique non plus.
- On pose, pour tout entier naturel
,
.
- Pour tout entier
,
.
Ainsi,est une suite géométrique de raison
et de premier terme
.
- On en déduit que, pour tout entier
,
.
- On obtient alors,
.
- Pour tout entier
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