Polynôme de degré 3 et fraction rationnelle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

  1. Soit le polynôme $P(x)=3x^3-7x^2-7x+3$.
    Vérifier que $-1$ est une racine de $P$ puis factoriser le polynôme sous la forme $P(x)=(x+1)Q(x)$, où $Q(x)$ est un trinôme du second degré que l'on déterminera.
    Résoudre alors l'équation $3x^3-7x^2-7x+3=0$.
  2. On considère la fraction rationnelle : $f(x)=\dfrac{3x^3-7x^2-7x+3}{2x^2-8x+8}$
    Résoudre l'inéquation $f(x)\geq0$.



Correction

Correction

  1. On a $P(-1)=3(-1)^3-7(-1)^2-7(-1)+3=-3-7+7+3=0$, ce qui montre que $-1$ est bien une racine de $P$.
    On en déduit que $P$ se factorise par $\bigl(x-(-1)\bigr)=(x+1)$. Soit donc $Q(x)=ax^2+bx+c$, alors on a: $P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c$, d'où on déduit que $\la\begin{array}{l} a=3\\ a+b=-7\\ b+c=-7 \\ c=3\enar\right.$, soit donc, $a=3$, $b=-10$ et $c=3$.

    Ainsi, $P(x)=(x+1)(3x^2-10x+3)$. Le discriminant de $Q(x)$ est $\Delta=64$ et ses racines sont $x_1=\dfrac13$ et $x_2=3$.
    Les solutions de l'équation $P(x)=0$ sont donc: $\mathcal{S}=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} -1;\dfrac13;3\ra$.
  2. Le trinôme du dénominateur a pour discriminant $\Delta=8^2-4\tm2\tm8=0$ et admet donc un unique racine $x_0=\dfrac{-(-8)}{2\tm2}=2$.
    À l'aide de la factorisation obtenue au $1)$, on a $f(x)=\dfrac{(x+1)(3x^2-10x+3)}{2x^2-8x+8}$ et les signes
    \[ \begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline $x$ & $-\infty$ & &$-1$& &$\frac{1}{3}$& &$2$& &$3$& &$+\infty$ \\\hline $x+1$& &-& \zb&+& $|$ &+&$|$&+&$|$&+&\\\hline $3x^2-10x+3$& &+& $|$&+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &-&$|$&-&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}&+&\\\hline $2x^2-8x+8$& &+& $|$&+& $|$ &+&\zb&+&$|$&+& \\\hline $f(x)$& &-& \zb&+& \zb &-&\db&-&\zb&+& \\\hline \end{tabular} \]

    On a alors, $f(x)\geq0 \Longleftrightarrow x\in[-1;\frac{1}{3}]\cup[3;+\infty[$


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