Diverses équations et inéquations utilisant du 2nd degré (3)

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Résoudre dans $\R$ :

a)

b) $-\dfrac14x^2+x-1<0$ c) $\dfrac{1-x}{1+x}\geqslant4x+5$

Correction

$\begin{array}{ll}&x^3-x^2+5x = x(x^2-x+5)=0\\[.6em] &\iff\Bigl( x=0 \text{ ou } x^2-x+5=0\Bigr)\enar$

Le trinôme du second degré a pour discriminant $\Delta=-19<0$ et n'admet donc pas de racine.
Finalement l'équation admet une unique solution réelle $\mathcal{S}=\Bigl\{0\Bigr\}$ .
En multipliant par cette inégalité on obtient $-\dfrac14x^2+x-1<0\iff x^2-4+4>0 \iff (x-2)^2>0$ . Ainsi, les solutions sont $\mathcal{S}=\R\setminus\la2\ra$ .
$\begin{array}{ll} &\dfrac{1-x}{1+x}\geqslant4x+5\\[1em] \iff&\dfrac{1-x}{1+x}-(4x+5)\geqslant0\\[1em] \iff&\dfrac{-4x^2-10x-4}{1+x}\geqslant0\\[1em] \iff&\dfrac{2x^2+5x+2}{1+x}\leqslant0\enar$

Le trinôme du second degré du numérateur a pour discriminant $\Delta=9=3^2>0$ et admet donc deux racines réelles distinctes $x_1=\dfrac{-5-3}{4}=-2$ et $x_2=\dfrac{-5+3}{4}=-\dfrac12$ .
On a alors le tableau de signe:

$\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline $x$ & $-\infty$ & &$-2$& &$-1$& &$-\frac12$&&$+\infty$ \\\hline $2x^2+5x+2$& &+& \zb&-& $|$ &-&\zb&+&\\\hline $1+x$& &-& $|$ &-& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &+&$|$&+&\\\hline $\frac{2x^2+5x+2}{1+x}$ & &-& \zb&+& \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} &-&\zb&+& \\\hline \end{tabular}$

Finalement, les solutions de l'inéquation sont $\mathcal{S}=]-\infty;-2]\cup]-1;-\frac12]$ .

Tag:2nd degré

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