Intersection d'une parabole et d'une droite

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Soit $ f$ et $ g$ les fonctions définies sur $ {\rm I\kern-.1567em R}_+$ par:
$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$    et, $\displaystyle \qquad g(x)=x-1$
a) Tracer dans un repère $ (0;\vec{i},\vec{j})$ les courbes représentatives des fonctions $ f$ et $ g$ .
Déterminer des valeurs approchées des coordonnées du point d'intersection des deux courbes.

b) Déterminer, par le calcul, les valeurs exactes des coordonnées de ce point d'intersection

Correction
a)

\begin{pspicture}(-0.5,-2)(10,6) \psline{->}(-0.5,0)(8.4,0) \psline{->}(0,-1.5... ...psplot[plotpoints=100]{0}{8}{x 0.5 exp} \psplot{0}{8}{x -1 add} \end{pspicture}

Les coordonnées du point d'intersection sont, approximativement, $ (2,6\,;\,1,6)$ .

b) Soit $ I(x;y)$ le point d'intersection des deux courbes.
Alors $ y=f(x)=g(x)$ , soit aussi, $ \sqrt{x}=x-1$ , pour $ x-1\geqslant0\iff x\geqslant 1$ .


On a alors, en élevant au carré, $ x=(x-1)^2=x^2-2x+1\iff x^2-3x+1=0$ .

Cette équation du second degré a pour discriminant $ \Delta=9-4=5>0$ , et admet donc deux solutions:

$\displaystyle x_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$   et,$\displaystyle \qquad x_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2} $

$ x_1\simeq0,68<1$ et donc, $ x_1$ n'est pas solution de l'équation $ \sqrt{x}=x-1$ .
Le point d'intersection a donc pour coordonées $ (x_2;\sqrt{x_2})$ , soit $ \left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\,;\,\sqrt{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}} \right)$ , ou encore, approximativement, $ \left(2,618\,;\,1,618\right)$ .



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