Intersection courbes 2nd et 3ème degrés

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=x^3+6x^2-5x-5$ et $g(x)=2x^2+2x+5$
On note respectivement $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
  1. Montrer que le point $A(2;17)$ est un point de $\mathcal{C}_f$ et de $\mathcal{C}_g$.
  2. Déterminer les coordonnées de tous les points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de $\mathcal{C}_g$.



Correction

Correction

  1. On a $f(2)=8+24-10-5=17$ donc $A(2;17)\in \mathcal{C}_f$ et de même $g(2)=8+4+5=17$ $A(2;17)\in \mathcal{C}_g$.
    Ainsi, $A(2;17)\in \mathcal{C}_f\cup\mathcal{C}_g$
  2. Soit $M(x;y)$ un point de $\mathcal{C}_f\cup\mathcal{C}_g$.
    Alors, $y=f(x)=g(x)$, soit aussi, $x^3+6x^2-5x-5=2x^2+2x+5$, ou encore $x^3+4x^2-7x-10=0$.

    D'après la question précédente, on sait que $x=2$ est une solution de cette équation, et donc que ce polynôme du troisième degré se factorise par $(x-2)$:
    \[x^3+4x^2-7x-10=(x-2)(x^2+6x+5)\]


    C'est une équation produit nul, donc soit $x-2=0\iff x=2$, soit $x^2+6x+5=0$.
    Le discriminant de ce trinôme du second degré est $\Delta=36-20=16=4^2$. Celui-ci admet donc deux racines réelles distinctes: $x_1=-1$ et $x_2=-5$.

    On a donc les abscisses des trois points d'intersection.
    On calcule les ordonnées correspondantes: $f(-1)=g(-1)=5$ et $f(-5)=g(-5)=45$.


    Les deux courbes ont donc trois points d'intersection: $A(2;17)$, $B(-1;5)$ et $C(-5;45)$.


Tag:2nd degré

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