Fonction trinôme avec un paramètre

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Soit , où désigne un nombre réel.

1. Pour quelle valeur de le nombre est-il racine de ?
   Déterminer alors l'autre racine.
   
2. Déterminer les valeurs de pour lesquelles admet deux racines distinctes.
   
3. Existe-t'il des valeurs de telles que, pour tout réel , ?

Correction
Soit , où désigne un nombre réel.

1. .
   Le produit des racines valant , on en déduit que la deuxième racine est .
   
2. admet deux racines distinctes si et seulement si , soit .
   est un trinôme du second degré qui a pour racines évidentes et , et qui est positif à l'extérieur de ses racines.
   Ainsi, admet 2 racines .
   
3. .
   Ce trinôme est toujours positif (ne change jamais de signe, et en particulier ne s'annule jamais) si , ce qui est impossible, un carré étant toujours positif ou nul.
   Ainsi, il n'existe pas de valeur de telle que pour tout réel .

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